Encontrar un trigonométricas inversas de la suma

Question

¿Cómo puedo probar que la siguiente igualdad sostiene- $$\sum_{p=1}^{10} \sum_{q=1}^{10} \arctan \left(\dfrac{p}{q}\right)=25\pi$$

Traté de crear telescópica de términos por el uso de la $\arctan{A}-\arctan{B}$ fórmula, pero no parece estar funcionando. Sugerencias en la dirección correcta y respuestas apreciado. Gracias.

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$\arctan{\left ( \frac{p}{q} \right )} + \arctan{\left ( \frac{q}{p} \right )} = \frac{\pi}{2} $$

Así que todo lo que necesita hacer es organizar la suma de aprovechar la simetría de la que necesita, es decir, $(p,q) \mapsto (q,p)$.

Para hacer esto, sin repetir, de inicio en la parte inferior/izquierda ejes; hay $9$ no-diagonal puntos cada uno, por lo que la suma a lo largo de allí es $9 \pi/2$.

Luego mueve una fila/columna más a la derecha; ahora sólo tenemos $8$ (para que no repita). Mantenerse en movimiento arriba/derecha y conseguir

$$(9+8+7+\cdots+1) \frac{\pi}{2} = 45 \frac{\pi}{2}$$

Ahora agregue en las diagonales, $10$ de ellos, contribuyendo $\pi/4$ cada uno (es decir, $\arctan{1}$), por lo que la suma es

$$45 \frac{\pi}{2} + 10 \frac{\pi}{4} = 25 \pi$$

Answer 2

Mediante la Simplificación de un Arctan ecuación, $$\arctan \frac{a}{b}+\arctan \frac{b}{a}=\frac\pi2$$ for $\dfrac ab>0$

Tenemos $\dfrac{10\cdot10}2$ pares