Nonpiecewise Función Definida en un Punto pero No Continuo Allí

Question

Puedo hacer un gran alboroto que mi cálculo estudiantes de proporcionar una "continuidad argumento" para evaluar los límites como $\lim_{x \rightarrow 0} 2x + 1$, por que me refiero a los que debe decirme que $2x+1$ es un polinomio, los polinomios son continuas en a $(-\infty, \infty)$, y por lo tanto $\lim_{x \rightarrow 0} 2x + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Todos los ejemplos que encuentro en donde es no corregir a evaluar en $a$ al $x \rightarrow a$ caen en una de dos categorías:

• La función no está definida en $a$.
• La función es seccionalmente y expresamente construido para tener una discontinuidad en $a$.

Me gustaría encontrar una función $f$ con las siguientes propiedades:

• $f(a)$ existe
• $f(a)$ no es (obviamente) definida a trozos
• $f(x)$ no es continua en a $a$
• $f$ es relativamente conocido a un Cálculo I en el estudiante la trigonometría sería admisible, pero el poder de la serie no (a pesar de que podría todavía lectura interesante)

El mejor ejemplo que conozco es $f(x) = \frac{|x|}{x}$, pero la definición natural de $|x|$ es esencialmente definidas a trozos ($\sqrt{x^2}$ es hacer trampa).

Answer 1

Una manera muy fácil construir una función que está definida a tramos sin ser "obviamente a trozos" funciones definidas en términos de límites:

$$f(x) = \lim_{a \to +\infty} \exp\left(-ax^2\right) = \begin{cases}1, & x = 0 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$$

Este ejemplo tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible para los estudiantes principiantes de cálculo.

Answer 2

¿ $$ f(x) = \sup \bigl( \mathbb Z\cap (-\infty,x)\bigr) = \lceil x\rceil -1$$

o

$$ g(x) = \lim_{n\to\infty} \tan^{-1}(nx) = \begin{cases}\pi/2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -\pi/2 & x< 0 \end{cases} $$

o

$$ h(x) = \limsup_{n\to\infty} \sin(nx\pi) = \begin{cases}0 & x \in \mathbb Z \\ 1 & x \notin \mathbb Q \\ \in(0,1] & \text{elsewhere} \end{cases}$$

o

$$ k(x) = \lim_{y\+\infty} \frac1y \int_0^y \cos(xt) \, dt = \begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & x\ne 0 \end{casos}$$

o

$$ g(x) = \int_0^\infty \frac{x}{1+(xt)^2} \,dt = \begin{cases} \pi/2 & x > 0 \\ 0 & x=0 \\ -\pi/2 & x<0 \end{casos}$$

Answer 3

Este problema se relaciona con temas discutidos por Weyl y plasmado en la obra de Brouwer en Intuistionist Matemáticas. Aquí hay una discusión:

http://www.alternatievewiskunde.nl/QED/brouwer.htm

Weyl afirmó que "por Encima de todo, sin embargo, no puede ser de otra funciones a todos en una continuidad de funciones continuas." Después de señalar la ausencia de funciones discontinuas en R, Weyl llegó a decir que: "Cuando el anterior análisis permite la formación de las funciones discontinuas, con lo que mostró más claramente cuán lejos está captando la esencia de la continuidad. Lo que se llama hoy en día una función discontinua, consiste en el hecho (y esto también es, básicamente, un retorno a las antiguas intuiciones) de una serie de funciones separadas continua."

Brouwer demostrado, en Intuitionist Matemáticas, que una totalmente definida la función en un intervalo es continua.

Answer 4

Puede definir $f_n(x)=x^n$$[0,1]$, e $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$. A continuación, la discontinuidad de la $f$ $1$ es un poco complicado, como todos los $f_n$ son continuas.

Answer 5

Como me quedo mirando con un cubo en forma de edificio cuyo lado tiene una longitud de 100 metros, mientras caminaba hacia el oeste paralelo a su pared norte en una ubicación a 100 metros al norte del edificio, la distancia al punto más lejano de mí que puedo ver en la cara de la construcción varía según mis cambios de posición. Como puedo cruzar la línea de la pared oeste, yo de repente puede ver en la esquina suroeste de la establecer, de manera que la distancia como una función de mi puesto tiene un salto de discontinuidad que surge naturalmente de la geometría.