¿Por qué el Teorema de Pitágoras tiene su forma simple sólo en la geometría Euclidiana?

Question

A continuación son el ángulo recto de las formas del Teorema de Pitágoras en la elíptica, Euclidiana y la geometría hiperbólica, respectivamente.

$$\cos\left(\frac{c}{R}\right) = \cos\left(\frac{a}{R}\right)\cos\left(\frac{b}{R}\right)$$

$$c^2 = a^2 + b^2$$

$$\cosh c = \cosh a \; \cosh b$$

Para mí, se parece a la distancia Euclídea versión es la más sencilla. No hay funciones trigonométricas (y sólo una función trigonométrica en el caso general). Además, es la única versión que tengan algo cuadrado; los otros dos $f(c)=f(a)f(b)$, mientras que la distancia Euclídea versión es $f(c)=f(a)+f(b)$. Además, hay un montón de bastante simples pruebas del Teorema de Pitágoras en la geometría Euclidiana, pero supongo que este no es el caso de elíptica e hiperbólica geometrías. ¿Por qué es esto así?

Mi corazonada es que el Postulado Paralelo es la clave de esta respuesta. Sin embargo, no veo la conexión entre tener exactamente una línea paralela y sea lo que sea que hace la fórmula salen tan bien.

Answer 1

Incluso se puede generalizar la ley de los cosenos.

$$ \cos\left(\frac{z}{r}\right) = \cos\left(\frac{x}{r}\right) \cos\left(\frac{y}{r}\right) + \cos(\phi) \sin\left(\frac{x}{r}\right) \sin\left(\frac{y}{r}\right). \tag 1 $$

Lo que tenemos es $$ \begin{array}{rcl} r^2 > 0 &\rightarrow& \textrm{spherical}\\ && \cos\left(\frac{z}{r}\right) = \cos\left(\frac{x}{r}\right) \cos\left(\frac{y}{r}\right) + \cos(\phi) \sin\left(\frac{x}{r}\right) \sin\left(\frac{y}{r}\right)\\\\ r^2 < 0 &\rightarrow& \textrm{hyperbolic}\\ && \cosh\left(\frac{z}{r}\right) = \cosh\left(\frac{x}{r}\right) \cosh\left(\frac{y}{r}\right) - \cos(\phi) \sinh\left(\frac{x}{r}\right) \sinh\left(\frac{y}{r}\right)\\\\ \lim_{\displaystyle r^2 \rightarrow \infty} &\rightarrow& \textrm{flat or Euclidean}\\ && z^2 = x^2 + y^2 - 2 \cos(\phi) x y \end{array} $$

---

Escribirlo... $$ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left( 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{z}{r} \right)^2 + \cdots \right) &=& \displaystyle \left( 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \cdots \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{y}{r} \right)^2 + \cdots \right)\\ && \displaystyle \hspace{2em} + \cos(\phi) \left( \frac{x}{r} + \cdots \right) \left( \frac{y}{r} + \cdots \right) \end{array} $$ Así que al final termina con $$ z^2 = x^2 + y^2 - 2 \cos(\phi) x y z. $$