Complementa subespacio de un espacio de Banach

Question

Tengo una duda, si $E$ es un espacio de Banach y $H$ es un subespacio cerrado de $E$, puede afirmar esta proposición:

Si existe una función continua lineal $S:E\to H$ tal que $S\circ i =Id_{_H}$ (con $i:H\hookrightarrow E$), a continuación, se complementa con $H$ $E$.

No necesito la prueba, simplemente necesito saber si esto es verdadero o falso, gracias.

Answer 1

En este caso $H\oplus \ker(S)=E$. La prueba es la siguiente: si $h\in H\cap \ker(S)$ y $0=S(h)=h$, la segunda igualdad sigue de $S\circ i=Id_H$. Dado $e\in E$, entonces $e=(e-S(e))+S(e)$de % de % que $e-S(e)\in \ker(S)$ y $S(e)\in H$.