Solución integral para $|x | + | y | + | z | = 10$

Question

Cómo puedo encontrar el número de solución integral a la ecuación

$|x | + | y | + | z | = 10. $

Estoy utilizando la fórmula,

Número de soluciones integrales para |x| $ + |y| + |z| = p$ es $(4P^2) + 2 $, entonces la respuesta es 402.

Pero, quiero saber, cómo lo podemos encontrar sin utilizar fórmula.

cualquier sugerencia!!!

Por favor ayuda

Answer 1

La cantidad de $n_1(k)$ de soluciones de $$|x|=k$$ es, obviamente, dada por $$n_1(k)=\begin{casos}2&\text{si }k>0\\1&\text{si }k=0\\0&\text{si }k<0.\end {casos}$$ A continuación, el número de soluciones de $n_2(k)$ de $$|x|+|y|=k$$ puede obtenerse como $$n_2(k)=\sum_{i\in\mathbb Z}n_1(i)\cdot n_1(k-i)=\begin{casos}2+(k-1)\cdot 4+2=4k& \text{si }k>0\\1&\text{si }k=0\\0&\text{si }k<0.\end{casos}$$ Finalmente, la cantidad de $n_3(k)$ de soluciones de $$|x|+|y|+|z|=k$$ es (usando $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2$) $$n_3(k)=\sum_{i\in\mathbb Z}n_2(i)\cdot n_1(k-i)\\=\begin{casos}2+2\sum_{i=1}^{k-1}4i + 4k=2+4k(k-1)+4k=4k^2+2& \text{si }k>0\\1&\text{si }k=0\\0&\text{si }k<0.\end{casos}$$

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En general, el número de soluciones de $$|x_1|+\cdots +|x_m|=k$$ está dada por $$n_m(k)=\begin{casos}P_m(k)&\text{si }k>0\\1&\text{si }k=0\\0&\text{si }k<0,\end{casos}$$ donde $P_m$ es algún polinomio de grado m $-1$. El $P_m$ puede ser obtenido de forma recursiva, por ejemplo, a través de las relaciones $$P_m(X+1)-P_m(X)= P_{m-1}(X)+P_{m-1}(X+1)$$ $$P_m(1)=2m$$

Answer 2

Doy una derivación geométrica, queremos contar integral de todos los puntos de la mentira en la superficie $|x|+|y|+|z|=P$. En realidad en el espacio 3D, en cada octante, la forma de la superficie es de forma triangular.

Por ejemplo, si $P=4$, entonces la forma en el primer octante sería $$ \begin{array}[ccccccccc] \ & & & & Q(0,0,4)& & & &\\ & & &D(0,1,3))& &D(1,0,3)& & &\\ & &D(0,2,2)& &S(1,1,2)& &D(2,0,2)& &\\ &D(0,3,1)& &S(1,2,1)& &S(2,1,1)& &D(3,0,1)&\\ Q(0,4,0)& &D(1,3,0)& &D(2,2,0)& &D(3,1,0)& &Q(4,0,0)\\ \end{array} $$ donde $P$ denota los puntos que debe ser compartida por 4 octantes, $D$ denota los puntos que debe ser compartida por 2 octantes y $S$ denota los puntos sólo pertenece a este octantes.

Así que para el total de los octantes, el número de puntos con S $$n_S=8\cdot\frac{(P-1)(P-2)}{2}=4P^2-12P+8$$

el número de puntos con D es $$n_D=8\cdot\frac{3(P-1)}{2}=12P-12$$

el número de puntos con Q es $$n_Q=8\cdot\frac{3}{4}=6$$

Por lo que el número total sería $$n=n_S+n_D+n_Q=4P^2+2$$

Answer 3

Voy a dar un argumento para calcular el número de enteros soluciones de $\sum_{i=1}^n|x_i|=k$ para $n,k\in\Bbb$ N, entonces se especializan para $n=3$.

Primero, el número de soluciones de $\sum_{i=1}^nx_i=k$ con todos los $x_i\geq0$ es $\binom{k+n-1}{n-1}$: primer sorteo de $k+n-1$ vertical de trazos, entonces para $n-1$ de cruzar con un trazo horizontal, convirtiéndolos en $+$ signos, para obtener una descomposición $x_1+x_2+\cdots+x_n$ de $k$ con cada uno de los $x_i$ en unario la notación (posiblemente sin golpes a todos, lo que representa $0$).

Esto cuenta las puramente no-negativo soluciones para el problema original. Para incluir soluciones de $x_i<0$ $i$, tenemos constancia de que el subconjunto de las posiciones $i$ en el que esto sucede, y, a continuación, reemplace cada negativo de $x_i$ $- 1-x_i$, lo que es no negativo. El resultado es una solución de la no-negativa problema anterior, pero con $k$ disminuida por el número de originalmente negativo de $x_i$ (debido a que el plazo $-1$ utilizados para cada uno). Tenemos así el número de $$ \sum_{j=0}^n\binom nj\binom{k+n-1-j}{n-1} $$ de soluciones a $\sum_{i=1}^n|x_i|=k$, donde el coeficiente binomial a la izquierda cuenta los subconjuntos de anotaciones negativas, y el de la derecha, se cuenta el número de soluciones de la correspondiente a los no-negativa problema. Este balance no parece ser del tipo que puede ser reducida a un único coeficiente binomial (como lo sería si la suma se alterna).

Para $n=3$ se $\sum_{j=0}^3\binom3j\binom{k+2-j}2$, lo que da concretamente $$ \frac{(k+2)(k+1)+3(k+1)k+3k(k-1)+(k-1)(k-2)}2 =4k^2+2. $$

Answer 4

Esto es muy similar al de Marc respuesta, pero como yo ya estaba que se deriva cuando se publicó, me decidí a seguir adelante y publicar de todos modos.

En primer lugar, cuente la cantidad de solución a $$ x+y+z=k, x,y,z\geq 1. $$ Por costumbre barras y las estrellas argumento, esto es ${k-1\elegir 2}$. Ahora por symetry, cada una de estas soluciones es, de hecho, $2^3$ solución de permitir a $\pm j$ en cada variable.

Ahora cuente el número de la solución a $$ x+y+z=k, $$ donde exactamente uno de la variable es $0$. El uso de técnicas similares y symetry argumentos, se $$ {3\elegir 1}{k-1\elegir 1}2^2. $$

Finalmente el número de la solución a $$ x+y+z=k, $$ donde exactamente $2$ son $0$ dada por $6$, para que usted tiene $3$ opciones para el cero de la variable y $2$ opciones para su signo.

De esta forma

$$ \sum_{i=0}^{2}{3\elegir i}{k-1\elegir 2-i}2^{3-i}=4k^2+2 $$

Esta generalizada a $$ \sum_{i=0}^{n-1}{n\elegir i}{k-1\elegir n-1-i}2^{n-i}; $$

Answer 5

Un boceto de la derivación va como esto: (yo lo hice en el papel, pero tal vez se perdió algunas ventajas o desventajas). También este enfoque no es una genérica.

Dado el problema sabemos obligado en cada variable es de $p$. Ahora bien, si asumimos que sabemos que $x = p$ y y z sólo puede ser 0. Si x es p-1, y y z $\en (0,1)$ que hace 4 casos (no 8 a partir de +0 es igual a -0). Lo mismo para x=p-2 tenemos y y z $\en (0,1,2)$ decisiones 8 casos. Para resumir todo esto, hasta que x=1, a continuación, Haga doble que para la consideración de los cinco valores de x, y, finalmente, añadir, x = 0 caso, se obtiene la fórmula. :)

No forma elegante, aunque hay una clara tendencia en estas adiciones, pero podría funcionar.