¿Bajo qué circunstancias tenemos $\partial(A \setminus B) = \partial A \cup (A \cap B)$?

Question

Deje $A$ $B$ denotar los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$.

Entonces si $A$ es un conjunto abierto y $B$ es un "suficientemente pequeño" conjunto cerrado, entonces podríamos esperar que las siguientes celebrar: $$\partial(A \setminus B) = \partial A \cup (A \cap B)$$

Por ejemplo, imagine que $X = \mathbb{R}^2$, $A$ es la unidad (abierto) de la bola centrada en el origen, y que $B$ es una línea que pasa por el origen. A continuación, $\partial A$ es el círculo unitario con centro en el origen, $A \cap B$ es un segmento de recta de longitud $2$ a través del origen, y $\partial(A \setminus B)$ es la unión de estos.

Pregunta. Deje $A$ $B$ denotar los subconjuntos de a$\mathbb{R}^n$, $A$ abierto y $B$ cerrado. Bajo qué supuestos no la identidad de intereses? Yo también estoy interesado en la generalización más allá de $\mathbb{R}^n$ a, por ejemplo, lo suficientemente bien comportado de espacios topológicos.

He intentado probar esto bajo el supuesto de que $\mathrm{int}(B) = \emptyset$, pero no llegará muy lejos.

Answer 1

Creo que tengo una prueba para el caso de al $B^o:=int(B)=\emptyset$. Deje $a\in \partial(A-B)$. Entonces, por definición, $a\in \overline{A-B}$. Desde $B$ es cerrado y $A$ está abierto, $B^c\cap A=A-B$ está abierto. De ello se desprende que $a\not\in (A-B)$, de lo contrario $a$ sería un punto interior de a $(A-B)$. Por lo tanto, $a\in (A-B)^c=(A\cap B^c)^c=A^c\cup B$, lo $a\in B$ o $a\in A^c$. Desde $\overline{A-B}\subset \overline{A}$, $a\in \partial A$ o $a\in A\cap B$.

En el otro sentido, necesitamos lo siguiente:

Lema

Si $B^o=\emptyset$,$\overline{A-B}=\overline{B^c\cap A}=\overline{A}$.

prueba

Desde $B^o=\emptyset$, para cada punto de $a\in B\cap A$ y abrir todas las bolas $a\in B_{\epsilon}$,$B_{\epsilon}\cap (A\cap B^c)\neq \emptyset$. Por lo tanto, $B^c\cap A$ es denso en $A$ (en la topología de subespacio).

Volvamos ahora a nuestro problema...Vamos a $a\in \partial A\cup (A\cap B)$. Si $a\in \partial A$, $a\in \overline{A-B}$ por el lema. Por otra parte, $a\not \in A-B$, desde entonces $a\in A=A^o$ estaría en contradicción con nuestra hipótesis. Por lo tanto, $a\in \partial(A-B)$. Si $a\in (A\cap B)$, a continuación, de nuevo tenemos que abrir cada pelota cruza puntos de $A-B$ y, por tanto,$a\in \overline{A-B}$. Finalmente, $a\not\in A-B$, de lo contrario $a\not\in B$.

Editar

Me limpiaron la prueba de lo que es un poco más legible.

También, la condición de que $(A\cap B)^o=\emptyset$ es a la vez necesaria y suficiente. A ver que es necesario, el aviso de que si $(A\cap B)$ puntos del interior, entonces no $\partial A\cup (A\cap B)$. Sin embargo, $\partial(A-B)$ no pueden tener puntos del interior. De hecho, $(A-B)=B^c\cap A$ es abierto y $\partial(A-B)=(\overline{A-B})-(A-B)$. Si este conjunto tenía un punto interior, entonces no sería algo de bola de $B_{\epsilon}$$\overline{A-B}$, que no se cruzan $A-B$. Pero, a continuación, $\overline{A-B}-B_{\epsilon}=\overline{A-B}\cap B_{\epsilon}^c$ es un conjunto cerrado que contiene a $A-B$, contradiciendo el hecho de que $\overline{A-B}$ es el cierre (el menor conjunto cerrado que contiene a $A-B$).

Finalmente, esto funciona en cualquier espacio topológico. Sólo reemplace $B_{\epsilon}$ por un elemento en una base para la topología.