Más o menos la

Question

Quiero demostrar que %#% $ #% sin usar la definición de derivado y por el siguiente método:

Porque %#% $de #% llegué a la siguiente límite$$\lim_{h\to0}\frac{\text{arcsec}(x+h)-\text{arcsec}(x)}{h}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$ $para evaluar recientes límite escribí así es$$\text{arcsec}(p)-\text{arcsec}(q)=\text{arcsec}\left(\frac{pq}{1+\sqrt{p^2-1}\sqrt{q^2-1}}\right),p,q>0\,\text{or}\,p,q<0$ $pero convierte en$$\lim_{h\to0}\frac{\text{arcsec}\left(\frac{x^2+xh}{1+\sqrt{(x+h)^2-1}\sqrt{x^2-1}}\right)}{h}\tag{*}$. Por favor, ayudarme para evaluar $$\lim_{h\to0}\frac{\text{arcsec}\left(\frac{x^2+xh}{1+\sqrt{(x+h)^2-1}\sqrt{x^2-1}}\right)}{\frac{x^2+xh}{1+\sqrt{(x+h)^2-1}\sqrt{x^2-1}}}\times\lim_{h\to0}\frac{\frac{x^2+xh}{1+\sqrt{(x+h)^2-1}\sqrt{x^2-1}}}{h}$.$0\times\infty$ Mediante el uso de este método ver también aquí.

Answer 1

Un enfoque simple es poner $\text{arcsec}\, x = y$ así que $\sec y = x$ y $\text{arcsec}\, (x + h) = y + k$ que $\sec(y + k) = x + h$. Debe quedar claro que $k$ tiende a cero con $h$. Y entonces el límite deseado es $\lim_{k \to 0}\dfrac{k}{\sec(y + k) - \sec y}$ que puede ser fácilmente manejado por cambio $\sec$ $1/\cos$. Algunas personas pueden encontrar como esencialmente equivalente a la regla para la diferenciación de la función inversa.

En ese caso otro enfoque es utilizar la siguiente relación $$\text{arcsec}\, x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) con esto que obtenemos

$\displaystyle\begin{aligned}L &= \lim_{h \to 0}\dfrac{\arcsin\left(\dfrac{1}{x}\right) - \arcsin\left(\dfrac{1}{x + h}\right)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0}\dfrac{\arcsin\left(\dfrac{1}{x}\sqrt{1 - \dfrac{1}{(x + h)^{2}}} - \dfrac{1}{x + h}\sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}\right)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0}\dfrac{\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x(x + h)}\right)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0}\dfrac{\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x(x + h)}\right)}{\dfrac{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x(x + h)}}\cdot\dfrac{\dfrac{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x(x + h)}}{h}\\ &= \lim_{h \to 0}1\cdot\dfrac{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}}{xh(x + h)}\text{ (because }\lim_{y \to 0}\dfrac{\arcsin y}{y} = 1\text{)}\\ &= \lim_{h \to 0}\dfrac{(x + h)^{2} - x^{2}}{xh(x + h)\left\{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} - 1}\right\}}\\ &= \lim_{h \to 0}\dfrac{h(2x + h)}{xh(x + h)\left\{\sqrt{(x + h)^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} - 1}\right\}}\\ &= \frac{2x}{x\cdot x\cdot 2\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}\end{alineado}$

Answer 2

Y la idea: ¿por qué no usas el teorema de la derivada de la función inversa?

$$\color{red}{\text{For}\;\;y>0\iff\;-\frac\pi2<y<\frac\pi2}\;:\;\;y=\sec x\;\;,\;\;y'=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\tan x\sec x\implies$$

$$x=\text{arcsec}\,y\implies (\text{arcsec}\,y)'=\frac1{\sec x\tan x}=\frac1{y\frac{\sqrt{1-\cos^2x}}{\cos x}}=\frac1{y\sqrt{\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}}}=$$

$$=\frac1{y\sqrt{y^2-1}}\;\ldots\ldots\text{ and we're done!}$$