Podemos construir $\frac{1}{33}$ así, $.030303$ $\cdots$ ( $03$ repeticiones). $.0303$ $\cdots$ tiende a $\frac{1}{33}$ .
Entonces, me preguntaba lo siguiente: En la representación decimal, si empezamos a escribir el $10$ números de tal manera que la parte decimal nunca termina y nunca se repite; entonces, ¿me estoy acercando cada vez más a algún número irracional?
La expansión decimal de un número racional es siempre repetitiva (podemos ver un decimal finito como una repetición de $0$ 's)
Si $q$ es racional podemos escribirlo como una fracción irreducible $\dfrac{a}{b}$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$ . Consideremos la división euclidiana de $a$ por $b:$
En cada paso, sólo hay un número finito de restos posibles $r\;\;(0\leq r< b)$ . Por lo tanto, en algún momento, debemos dar con un resto que haya aparecido previamente en el algoritmo: los decimales hacen un ciclo a partir de ahí es decir tenemos un patrón que se repite.
Como ningún número racional puede ser no repetitivo, un decimal no repetitivo debe ser irracional.
¿Cada vez más cerca? Si te refieres a cada vez más cerca como en la aproximación a un irracional, sí. La idea detrás de cercanía es que hay algún destino detrás de donde vas mientras escribes el número, pero en un número irracional no hay destino, simplemente sigues escribiendo. Si fuera posible, con información perfecta, seguir escribiendo la expansión decimal de un número irracional, asegurándose de que no hay absolutamente ninguna repetición o patrón, entonces estarías obteniendo cerrar arbitrariamente al número irracional, (en términos de $\epsilon$ cerrar). Un número irracional tiene una expansión decimal no terminada y no repetida. Así que no hay una idea real de cercanía aquí, a menos que se hable de distancia, ( $\epsilon$ cerca), en cuyo caso sí se está acercando.
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