¿Es el derivado complejo "velocidad"?

Question

La primera cosa que me dijo acerca de la real derivado es el que es "la rapidez con que la función es creciente en un punto dado. Esta interpretación no fue abordado en mi complejo de clases de análisis. Puede el complejo derivado también puede interpretarse como "velocidad"?

Y ¿cómo podemos interpretar los ceros de los derivados complejos? Con el real derivado, es simple: es donde la función deja de aumentar o disminuir (tal vez sólo por un momento). Si se fue disminuyendo y después de ese momento comienza a aumentar, tenemos un mínimo local. Si fue en aumento y comienza a disminuir, tenemos un máximo. Es algo como esto es cierto para los derivados complejos?

Answer 1

El trabajo de más de $\mathbb{R}$, puedes decir cosas como "si la derivada de $f$ es positivo, entonces $f$ es creciente." Tenga en cuenta que tanto las palabras positivas y crecientes sólo tienen sentido porque $\mathbb{R}$ es un orden de campo. Usted realmente necesita la orden de hacer sentido de las cosas. Por esta razón, estas declaraciones carecen de sentido cuando se trabaja sobre un no-ordenó campo como el de la $\mathbb{C}$.

Supongamos $f$ es un holomorphic de la función en $\mathbb{C}$. Para cualquier punto de $z\in \mathbb{C}$, se puede ver en el derivado $f'(z)$, y usted también puede mirar el tamaño de la derivada $|f'(z)|$.

El derivado $f'(z)$ debe ser considerado como una aproximación lineal a$f$$z$, es decir,, $$f(z + w)\approx f(z) + f'(z)w$$ for small $ w$. This is analogous to the derivative for real functions giving the slope of the tangent line. The complex derivative $f'(z)$ can be thought of as the "slope" of $f$ at $z$ (aunque yo no la realidad el uso de esta terminología).

El tamaño de la derivada $|f'(z)|$ da una medida de la rapidez con la $f$ está cambiando en $z$. El mayor $|f'(z)|$, la más grande es la diferencia que espera ver entre $f(z)$ $f(z + w)$ pequeña $w$. Si $f'(z) = 0$, la función de $f$ es "instantáneamente constante," al igual que en el caso real. Una forma de interpretar esto es para considerar las curvas a través de $z$ de la forma $\gamma_\theta\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $\gamma_\theta(t) = z + te^{i\theta}$. A continuación, $f(\gamma_\theta(t))$ es exactamente la función de $f$ a lo largo de la curva de $\gamma_\theta$, y usted puede tomar la variable derivados como normal. Si $f'(z) = 0$, entonces la derivada de $f(\gamma_\theta(t))$$0$$0$, mostrando que el $f$ es instantáneamente constante a lo largo de la curva de a $z$.

No hay ninguna buena analógica de local "máximo" y "mínimo local" en el marco complejo, ya que una vez más, el máximo y mínimo requieren de un pedido de campo. Una cosa que usted puede hacer, sin embargo, es en donde el valor absoluto $|f(z)|$ es el más grande y el más pequeño. Una cosa curiosa acerca de holomorphic funciones es que ellos no tienen los máximos locales, a menos que sean constantes (este es el máximo módulo de principio), y por lo tanto el real de la teoría de variable no llevar encima en todo. El único lugar de una (no constante) holomorphic función puede minimizar $|f(z)|$ está en sus raíces, que también es diferente de la de un caso real.

Answer 2

El verdadero secreto aquí es que el real derivada es la mejor aproximación lineal. Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, esto es lo que la derivada significa: si te acercas muy cerca de un punto de $x_0$, $f(x)$ parece mucho a la función lineal $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$. Esta es la razón por la que podemos pensar de la real derivado de la "velocidad" --- debido a que la interpretación de la pendiente de una línea recta.

Punto clave: funciones Lineales en $\mathbb{R}$ son exactamente dada por la multiplicación por una constante.

Ahora echemos un vistazo a los derivados complejos. En primer lugar, vamos a pensar de $\mathbb{C}$$\mathbb{R}^2$. Entonces si $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es real-diferenciable, cuando hacemos zoom en cerca de un punto de $z_0\in\mathbb{C}$, $f$ se parece mucho a $f(z_0) + A(z-z_0)$ donde $A$ es un dos-por-dos de la matriz, es decir, una transformación lineal de $\mathbb{R}^2$.

Esto es problemático, ya que $\mathbb{C}$ es genial porque podemos multiplicar los vectores. Así que vamos a prestar atención sólo a las funciones donde la aproximación lineal es la multiplicación por un número complejo: $f$ es complejo diferenciable si hasta cerca de $z_0$, $f$ se parece mucho a $$f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)$$ donde ahora la multiplicación de números complejos, no del vector por la matriz.

Esta es la similitud entre lo real y lo complejo de diferenciación: local dada por la multiplicación.

(Por cierto, esta es una buena manera de ver que la de Cauchy-Riemann ecuaciones provienen. Trabajo fuera de la matriz para la multiplicación por un número complejo. Aplicar esta condición para que el Jacobiano de $f$ y la de Cauchy-Riemann ecuaciones pop a la derecha).

Answer 3

¿Has pensado acerca de lo que la derivada es una función de$\mathbb R^k$$\mathbb R^l$? Resulta que toda esta noción de "velocidad" o "velocidad" no es la más útil cuando la generalización a dimensiones superiores, así que vamos a repensar un poco lo que el derivado en una dimensión, dice.

Algunos reflexión (ojalá) de convencerlo de que la derivada en cada punto indica cómo "confidencial" de la función es la de los cambios en el valor de entrada. De hecho una función de $f$ es diferenciable en a $x$ con derivados $\alpha$ si y sólo si

$\displaystyle\qquad f(x+h) = f(x) + \alpha h + o(h)$ $h \to 0\quad$ (cfr notación de Landau).

Esto vuelve a funcionar igual de bien en $\mathbb R^k$ $\mathbb C^l$ y equivalente a la definición de límite. Y esta "sensibilidad" o "mejor aproximación lineal" caracterización de la derivada es la que en mi opinión la que mejor describe de forma intuitiva la situación en dimensiones superiores (y hace pruebas de cosas como la regla de la cadena casi trivial después de que uno ha establecido la equivalencia con el límite de la definición). También explica perfectamente por qué funciones diferenciables desde el avión a sí mismo puede no ser complejo diferenciable vistos como funciones desde el plano complejo a sí mismo: Un verdadero lineal "mejor aproximación" podría no ser complejo lineal cuando se ve como un complejo mapa.