Deje $u$ ser un entero de la forma $4n+3$ donde $n$ es un entero positivo. Podemos encontrar enteros $a$ $b$ tal que $u = a^2 + b^2$? Si no, cómo establecer este es un hecho?
Respuestas
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Lema 1: $a$ es impar $\Longrightarrow$ $a^2\equiv 1(\operatorname{mod} 4)$.
Prueba: $a^2-1=(a-1)(a+1)$. Desde $a$ es extraño, por tanto $a-1$ $a+1$ son uniformes, por lo que el $a^2-1$ es divisible por $4$. $\blacksquare$
Lema 2: $a$ es incluso $\Longrightarrow$ $a^2\equiv 0(\operatorname{mod} 4)$.
Prueba: Trivial. $\blacksquare$
Ahora, supongamos que el $u=a^2+b^2$.
(1) Si $a$ $b$ son incluso, a continuación, $u$ es divisible por cuatro por lema 2.
(2) Si $a$ $b$ son impares, entonces $u\equiv 2(\operatorname{mod}4)$ por el lema 1.
(3) Si $a$ es incluso y $b$ es impar (wlog), a continuación, $u\equiv1(\operatorname{mod}4)$ por los lemas 1 y 2.
Es decir, no es nunca el caso de que $u\equiv 3(\operatorname{mod} 4)$.
some1.new4u
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Voy a escribir otro argumento con más del grupo de teoría de sabor en mi opinión. Supongamos que $p=4k+3$ es un número primo y se puede escribir $p=x^2+y^2$. a continuación,$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{p} \iff x^2 \equiv -y^2 \pmod{p} \iff (xy^{-1})^2 \equiv -1 \pmod{p}$. Por lo tanto, $t=xy^{-1}$ es una solución de $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$.
Ahora, considere el grupo$\mathbb{Z}^*_p$, que se compone de todos los no-cero residuos en mod $p$ bajo la multiplicación de los residuos. $|G|=(4k+3)-1=4k+2$. Por lo tanto, por una teoría del grupo de resultados (también puedes utilizar un débil teorema de la teoría de los números llamados de Fermat poco teorema), para cualquier $a \in \mathbb{Z}^*_p: a^{|G|}=1$, es decir,$a^{4k+2}=1$.
Sabemos que existe $x=t$ $\mathbb{Z}^*_p$ tal que $x^2 = -1$, por lo tanto, $x^4 = 1$. Pero esto significa que $\operatorname{ord}(x) \mid |G| \implies 4 \mid 4k+2$. Pero $4 \mid 4k$ y, por tanto, $4 \mid 4k+2 - 4k = 2$ lo cual es absurdo. Esta contradicción significa que no es posible escribir $p=x^2+y^2$$x,y \in \mathbb{Z}$.
EDIT: también debo agregar que cualquier entero de la forma $4k+3$ tendrá un primer factor de la forma $4k+3$. La razón es que, si ninguno de sus factores de esta forma, todos sus factores primos debe ser de la forma $4k+1$. Pero se puede comprobar fácilmente que $(4k+1)(4k'+1)=4k''+1$, lo que nos lleva a una contradicción. Esta es la forma en que se puede generalizar a lo que he dicho para el caso de al $n=4k+3$ es cualquier número natural.
Marquis Randell
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Para cualquier entero n, n = 0, 1, 2 o 3 (mod 4). Por lo $n^{2}$ = 0 o 1 (mod 4). A continuación, para cualquier enteros a y b, $a^{2} + b^{2}$ = 0, 1 o 2 (mod 4). Esto significa que la suma de dos cuadrados, es posible sólo estar en la forma 4k, 4k+1 o 4k+2, pero nunca 4k+3. Por lo tanto no se entero de la forma 4k+3 es la suma de dos cuadrados.
lhf
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David Vaknin
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Supongamos que x^2+y^2 = 4n+3, entonces x o y tiene que ser par. Supongamos que x = 2z y escribir
(2z)^2+y^2 = 4n+3. Esto también puede ser escrito como sigue:
(2z+y)^2-4zy = 4n+3 por reordenamiento podemos escribir
(2z+y)^2-1^2 =4n+2+4zy
(2z+y)^2-1^2=2(2n+2zy+1) y más
(2z+y-1)(2z+y+1)=2(2n+2zy+1)
El lado izquierdo es el producto de dos números de la derecha es el producto de pares e impares número. Así que la suposición de que es malo, y no hay ningún número en la forma 4n+3 puede ser una suma de dos cuadrados.
