Formulación integral para la solución de $xy'' + y' = y$

Question

Digamos que $y$ satisface la siguiente EDO: $$xy'' + y' = y$$

Quiero formular $y$ como una integral de contorno.

Sé que el resultado final que debería obtener es: $$y(x)=\frac{1}{2i\pi} \int_{C}{\frac{1}{t}e^{\sqrt{x}(t+1/t)}dt}$$ donde $C$ es un contorno apropiado.

Sin embargo, no sé por dónde empezar para obtener este resultado.

PS: Existen algunas similitudes entre esta formulación integral y la de la Función de Bessel modificada de primer tipo , $I_n(x)$ como podemos observar en la expresión (1) de Mathworld.

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Con $\ds{x = -\,{1 \over 4}\,t^{2}\quad\imp\quad t = 2\ic x^{1/2}}$ :

\begin{align} \totald{}{x}&=\totald{t}{x}\,\totald{}{t}=\ic x^{-1/2}\,\totald{}{t} =-\,{2 \over t}\,\totald{}{t} \\[3mm]\totald[2]{}{x}&=\underbrace{-\,{2 \over t}}_{\ds{\totald{t}{x}}}\ \totald{}{t}\bracks{-\,{2 \over t}\,\totald{}{t}} ={4 \over t^{2}}\,\totald[2]{}{t} - {4 \over t^{3}}\,\totald{}{t} \end{align}

Establecer $\ds{{\rm u}\pars{t} \equiv {\rm y}\pars{-\,{1 \over 4}\,t^{2}}}$ : $$ -\,{1 \over 4}\,t^{2}\bracks{% {4 \over t^{2}}\, \totald[2]{{\rm u}\pars{t}}{t} - {4 \over t^{3}}\,\totald{{\rm u}\pars{t}}{t}} - {2 \over t}\,\totald{{\rm u}\pars{t}}{t} = {\rm u}\pars{t} $$

y $$ t^{2}\,\totald[2]{{\rm u}\pars{t}}{t} + t\,\totald{{\rm u}\pars{t}}{t} + \pars{t^{2} - 0^{2}}{\rm u}\pars{t} = 0 $$ que es un Ecuación de Bessel . Se dan soluciones para combinaciones lineales de $\ds{{\rm u}\pars{2\ic\root{x}}}$ donde $\ds{{\rm u}}$ son funciones de Bessel.

$\color{#c00000}{\ds{\mbox{The integral representation should arise from the Bessel functions integral representations.}}}$

Answer 2

Sea $y=\int_Ce^{xs}K(s)~ds$ ,

Entonces $x(\int_Ce^{xs}K(s)~ds)''+(\int_Ce^{xs}K(s)~ds)'-\int_Ce^{xs}K(s)~ds=0$

$x\int_Cs^2e^{xs}K(s)~ds+\int_Cse^{xs}K(s)~ds-\int_Ce^{xs}K(s)~ds=0$

$\int_Cs^2e^{xs}K(s)~d(xs)+\int_C(s-1)e^{xs}K(s)~ds=0$

$\int_Cs^2K(s)~d(e^{xs})+\int_C(s-1)e^{xs}K(s)~ds=0$

$[s^2e^{xs}K(s)]_C-\int_Ce^{xs}~d(s^2K(s))+\int_C(s-1)e^{xs}K(s)~ds=0$

$[s^2e^{xs}K(s)]_C-\int_Ce^{xs}(s^2K'(s)+2sK(s))~ds+\int_C(s-1)e^{xs}K(s)~ds=0$

$[s^2e^{xs}K(s)]_C-\int_Ce^{xs}(s^2K'(s)+(s+1)K(s))~ds=0$

$\therefore s^2K'(s)+(s+1)K(s)=0$

$s^2K'(s)=-(s+1)K(s)$

$\dfrac{K'(s)}{K(s)}=-\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s^2}$

$\int\dfrac{K'(s)}{K(s)}ds=-\int\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^2}\right)ds$

$\ln K(s)=-\ln s+\dfrac{1}{s}+c_1$

$K(s)=\dfrac{ce^\frac{1}{s}}{s}$

$\therefore y=\int_C\dfrac{ce^{xs+\frac{1}{s}}}{s}~ds$

Pero como el procedimiento anterior de hecho es adecuado para cualquier número complejo $s$ ,

$\therefore y_n=\int_{a_n}^{b_n}\dfrac{c_ne^{xk_nt+\frac{1}{k_nt}}}{k_nt}d(k_nt)=c_n\int_{a_n}^{b_n}\dfrac{e^{k_nxt+\frac{1}{k_nt}}}{t}dt$

Para algunos $x$ -opciones de números reales independientes de $a_n$ y $b_n$ y $x$ -opciones de números complejos independientes de $k_n$ tal que:

$\lim\limits_{t\to a_n}te^{k_nxt+\frac{1}{k_nt}}=\lim\limits_{t\to b_n}te^{k_nxt+\frac{1}{k_nt}}$

$\int_{a_n}^{b_n}\dfrac{e^{k_nxt+\frac{1}{k_nt}}}{t}dt$ converge

Para $n=1$ la mejor opción es $a_1=0$ , $b_1=\infty$ , $k_1=-1$ cuando $\text{Re}(x)\geq0$

$\therefore y_1=C_1\int_0^\infty\dfrac{e^{-xt-\frac{1}{t}}}{t}dt$ cuando $\text{Re}(x)\geq0$

Answer 3

Supongamos: $$y(x) = \int_C \! e^{xt}f(t)\,\mathrm{d}t$$

Esto significa que:

$$y'(x) = \int_C \! te^{xt}f(t)\,\mathrm{d}t,\,\, \text{and} \,\,y''(x) = \int_C \! t^2e^{xt}f(t)\,\mathrm{d}t.$$

Sustituye esto en nuestra ecuación para encontrar:

$$\int_C (xt^2+t-1)e^{xt}f(t)\,\mathrm{d}t = 0$$

Vamos a buscar otra función $g(t)$ tal que tenga las siguientes propiedades:

$$g(t) = t^2f(t) \,\,\, \text{and} \, \,\, g'(t) = (t-1)f(t)$$

Con manipulaciones inteligentes (aka división) decimos que $$\log(g) = \int\!\dfrac{g'(t)}{g(t)}\mathrm{d}t = \int\! \dfrac{t-1}{t^2}\mathrm{d}t = \log(t) + \dfrac{1}{t}$$

$$g(t) = te^{1/t}$$

$$f(t) = \dfrac{1}{t}e^{1/t}$$

Ahora podemos decir que nuestra solución es

$$y(x) = \int_C \! \frac{1}{t}e^{xt+1/t}\,\mathrm{d}t.$$

$g(t)$ se eligió de forma que $e^{xt}(xg(t) + g'(t)) = (xt^2+t-1)e^{xt}f(t) = (e^{xt}t^2f(t))'$ .

Esta es la técnica que aprendí para resolver ecuaciones de tu tipo. Me imagino que suponiendo una forma como $y(x) = \int_c \!e^{\sqrt{x}t}f(t)\mathrm{d}t$ daría lugar a una solución similar a la que usted ha proporcionado. Naturalmente, el factor de $1/(2\pi i)$ puede añadirse al final.