¿Sería correcta esta solución del límite de la secuencia?

Question

Supongamos que tengo la secuencia de $a_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}, n \in \mathbb{N}$. Y tengo que encontrar el límite de la secuencia como $n \rightarrow \infty$. Sería la siguiente solución sea correcta?

La secuencia de $a_n$ puede escribirse como \begin{align} a_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \\ &= \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n+1}{2n}. \end{align}

Así tenemos \begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}. \end{align}

Answer 1

Tu solución es buena. Aquí hay otra manera de obtener el resultado. Sé que no es la manera más fácil de resolver, pero la ventaja es que se puede generalizar a $b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3}$, por ejemplo.

Note que $$a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n}$$ se ve como una suma de Riemann para $f : x \mapsto x$ desde $$a_n = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \left(\frac{k+1}{n} - \frac{k}{n} \right)$$

Por lo tanto el límite de la secuencia de $(a_n)_{n≥1}$ es $$\int_0^1 f = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Answer 2

Esto parece correcto. Personalmente no diría $\lim\frac {n+1} {2n} = \lim\frac n {2n} $. No sin explicación por lo menos (por ejemplo, incluir el paso $\lim \frac{n+1}{2n}=\lim \left(\frac{n}{2n}+\frac 1{2n}\right)$). Yo más bien diría $\lim \frac {n+1} {2n} = \lim \frac{1+\frac1n}{2}$. Pero esto por supuesto es una cuestión de preferencia.