Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, y deje $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n(k)$. Deje $\mathcal{N}\subset\mathfrak{g}$ ser el nilpotent de cono, que es:
$$\mathcal{N}=\{A\in\mathfrak{g}\mid A^n=0\}=\{A\in\mathfrak{g}\mid \text{ch}(A)=x^n\}$$
donde ch$(A)$ es el polinomio característico de la matriz $A$. Deje $X=(x_{ij})$ ser una matriz de indeterminates, y aviso que como una variedad afín $\mathcal{N}\subset\mathbb{A}_k^{n^2}$ puede ser definido de dos maneras. Si $I$ es el ideal generado por el $n^2$ homogéneas ecuaciones polinómicas de grado $n$$X^n=0$,$\mathcal{N}=Z(I)$. También, si $J$ es el ideal generado por el $n$ homogéneo de ecuaciones de grados $1,2,\ldots,n$ que definen la no-líder de los coeficientes de ch$(X)$,$\mathcal{N}=Z(J)$. Ahora lo que sigue es que $\sqrt{I}=\sqrt{J}$.
Es claro para mí que $I$ no es radical, porque $x_{11}+x_{22}+\ldots+x_{nn}\in \sqrt I\setminus I$. Es $J$ un radical ideal? Yo creo que es, con base en los comentarios en esta pregunta, pero me parece que no puede demostrarlo.