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Ideal la definición de la nilpotent cono de $\mathfrak{gl}_n(k)$

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, y deje $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n(k)$. Deje $\mathcal{N}\subset\mathfrak{g}$ ser el nilpotent de cono, que es:

$$\mathcal{N}=\{A\in\mathfrak{g}\mid A^n=0\}=\{A\in\mathfrak{g}\mid \text{ch}(A)=x^n\}$$

donde ch$(A)$ es el polinomio característico de la matriz $A$. Deje $X=(x_{ij})$ ser una matriz de indeterminates, y aviso que como una variedad afín $\mathcal{N}\subset\mathbb{A}_k^{n^2}$ puede ser definido de dos maneras. Si $I$ es el ideal generado por el $n^2$ homogéneas ecuaciones polinómicas de grado $n$$X^n=0$,$\mathcal{N}=Z(I)$. También, si $J$ es el ideal generado por el $n$ homogéneo de ecuaciones de grados $1,2,\ldots,n$ que definen la no-líder de los coeficientes de ch$(X)$,$\mathcal{N}=Z(J)$. Ahora lo que sigue es que $\sqrt{I}=\sqrt{J}$.

Es claro para mí que $I$ no es radical, porque $x_{11}+x_{22}+\ldots+x_{nn}\in \sqrt I\setminus I$. Es $J$ un radical ideal? Yo creo que es, con base en los comentarios en esta pregunta, pero me parece que no puede demostrarlo.

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Mandy Puntos 26

Esto no es una respuesta completa, pero todavía puede ser de uso. Ya sea que encontrar el tiempo para terminarla más tarde o alguien recoge donde dejo fuera.

El $r$-ésimo coeficiente del polinomio característico de la matriz $A\in\mathbb A^{n\times n}\cong k^n \otimes k^n$ es la traza de $\wedge^r A$. Es decir, es la suma de los $r$-th menores de la matriz $A$. Para ser muy preciso, $$\chi_r = \sum_{\substack{I\subseteq\{1,\ldots,n\}\\\\\# I=r}} \underset{\chi_{rI}}{\underbrace{\sum_{\pi\in\mathfrak{S}_I} \mathrm{sgn}(\pi) \cdot \prod_{i\in I} x_{i,\pi(i)}}}$$ es el polinomio de computación de la $r$-ésimo coeficiente del polinomio característico. Observar que $\deg(\chi_r)=r$. Además, el $\chi_{rI}$ son irreductibles, multilineal y no comparten monomio. Por lo tanto, $\chi_r$ es irreducile. Un ideal generado por irreductibles, homogénea, multilineal polinomios de pares diferentes grados debe ser radical.

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