Ejercicio sobre finito intermedio extensiones

Question

Deje $E/K$ ser una extensión de campo, y deje $L_1$ $L_2$ intermedios campos de finito de grado por encima del $K$.

Demostrar que $[L_1L_2:K] = [L_1 : K][L_2 : K]$ implica $L_1\cap L_2 = K$.

Mi proceso de pensamiento hasta el momento:

He conseguido que $K \subseteq L_1 \cap L_2$ porque trivialmente ambos son intermedios campos sobre K.

Quiero mostrar que la $L_1 \cap L_2 \subseteq K$, o, equivalentemente, que cualquier elemento de a $L_1 \cap L_2$ es también un elemento de $K$. Así que supongo que existe algún elemento $x\in L_1 \cap L_2\setminus K$. Bien sé que este elemento es algebraico sobre $K$, lo que implica que $L_1:K=[L_1:K(x)][K(x):K]$, y del mismo modo para $L_2$, lo que implica que estos multiplicados juntos igual $L_1L_2:K$ por hipótesis. Y ahora estoy atascado en el barro... no saber exactamente donde está la contradicción.

Answer 1

La suposición implica $[L_1L_2:L_1]=[L_2:K]$. Por lo tanto $K$-linealmente independientes, elementos $b_1,\ldots ,b_m\in L_2$ $L_1$- linealmente independientes, considerados como elementos de $L_1L_2$. En particular, esto es para las potencias $1,x,x^2,\ldots ,x^{m-1}$ de un elemento $x\in L_2$ donde $m$ es el grado del polinomio mínimo de a$x$$K$. Por lo tanto $[K(x):K]= [L_1(x):L_1]$. Esto muestra que el polinomio mínimo de más de $K$ de todos los $x\in L_1\cap L_2$ tiene el grado $1$.