Estoy estudiando algunos resultados sobre la planitud y la fidelidad a la planitud y me gustaría tener en mi mente algunos ejemplos sobre módulos fielmente planos.
En general, los módulos libres son los ejemplos típicos.
Otro ejemplo (inusual) de módulo fielmente plano es la "Cubierta Zariski". (Que $R$ ser un anillo, $(f_1, \dots ,f_n)=R$ y dejar que $R_{f_i}$ ser una localización $ \forall i$ . Luego $S:= \bigoplus_ {i=1}^n R_{f_i}$ se llama cobertura Zariski).
¿Tiene algún otro ejemplo?
Propiedades formales
El producto tensorial de dos módulos fielmente planos es fielmente plano.
Si $M$ es un módulo fielmente plano sobre el fielmente plano $A$ -algebra $B$ Entonces $M$ es fielmente plana $A$ también.
Una suma directa arbitraria de plano módulos es fielmente plana tan pronto como al menos un sumando lo es.
(Pero lo contrario es falso: ver advertencia abajo.)
Algebras
Un $A$ -algebra $B$ es fielmente plana si y sólo si es plana y cada ideal primordial de $A $ se contrae de $B$ es decir. $ \operatorname {Spec}(B) \to\operatorname {Spec}(A)$ es surjectiva.
Si $A \to B$ es un morfismo local entre los anillos locales, entonces $B$ es plana $A$ si es fielmente plano $A$ .
Caveat fidelis flatificator
a) Los módulos de proyección son planos, pero no tienen por qué ser fielmente planos. Por ejemplo $A= \mathbb Z/6=(2) \oplus (3)$ muestra que el ideal $(2) \subset A$ es proyectivo, pero no es fielmente plano porque $(2) \otimes_A \mathbb Z/2=0$ .
b) Un anillo de fracciones $S^{-1}A$ es siempre de plano $A$ y nunca fielmente plana [a menos que sólo invierta los elementos invertibles, en cuyo caso $S^{-1}A=A$ ].
c) El $ \mathbb Z$ -módulo $ \oplus_ {{{ \frak p}} \in \operatorname {Spec}( \mathbb Z}) \mathbb Z_{{ \frak p}}$ es fielmente plana $ \mathbb Z$ . Todos los sumandos son planos, sin embargo ninguno es fielmente plano.
Deje que $f:A \to B$ ser un homomorfismo de anillo plano. Si $q$ es un ideal primordial de $B$ Entonces $p=f^{-1}(q)$ es un ideal primordial de $A$ . Además, tenemos un homomorfismo inducido de los anillos $ \overline {f}:A_p \to B_q$ de tal manera que la composición $A \to B \to B_q$ (la primera flecha es $f$ y la segunda flecha es el homomorfismo de localización $B \to B_q$ ) es igual a $A \to A_p \to B_q$ (la primera flecha es el homomorfismo de localización $A \to A_p$ y la segunda flecha es $ \overline {f})$ . (Por supuesto, esto se desprende de la propiedad universal de la localización; cada elemento de $A$ no en $p$ está mapeado a un elemento de $B$ no en $q$ .)
En esta situación, $ \overline {f}:A_p \to B_q$ es un homomorfismo de anillo fielmente plano. (Prueba: Usamos la transitividad de la planitud. En particular, $B_q$ es un anillo local de $B_p$ y por lo tanto es plana sobre $B_p$ y $B_p$ es plana $A_p$ desde $B_p \cong B \otimes_ {A} A_p$ y la planitud se conserva bajo el cambio de base. La planitud fiel sigue desde $pA_p$ el único ideal máximo de $A_p$ es mapeado en $qB_q$ un ideal propio (de hecho, máximo) de $B_q$ bajo $ \overline {f}$ .)
En particular, el mapa inducido en los espectros $ \overline {f}^{*}: \text {Spec}(B_q) \to \text {Spec}(A_p)$ es surjectiva.
Si $A$ es un coherente anillo, cualquier anillo de serie de poder $A[[X_1, \dots ,X_n]]$ es fielmente plana $A$ .
Además, la suma directa de un piso $A$ -módulo y un fielmente plano $A$ -El módulo es fielmente plano.
La suma directa $ \bigoplus\limits_ { \mathfrak m \in\operatorname {Max}A} A_{ \mathfrak m}$ es fielmente plana $A$ .
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