Estoy tratando de entender la teoría de grupos ya que nunca la he estudiado antes. En cuanto al grupo lineal general, creo que he comprobado que es un grupo de matrices y por lo tanto los 4 axiomas se mantienen? La pregunta que estoy tratando de averiguar es por qué $(GL_n(\mathbb{Z}),\cdot)$ no forma un grupo. Creo que leí en algún sitio que es porque no tiene inversa y entiendo por qué esto no sería un grupo, pero no entiendo por qué no tendría inversa.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Bernard
Puntos
34415
$\DeclareMathOperator{\GL}{GL}\GL_n(\mathbf Z)$ es un grupo multiplicativo, por definición: es el conjunto de invertible matrices con coeficientes en $\mathbf Z$ .
El problema es que no es lo que pareces pensar: el conjunto de matrices con un determinante distinto de cero. En general, para cualquier anillo (conmutativo) $A$ , $\GL_n(A)$ es el conjunto /grupo de matrices invertibles, es decir, las matrices con determinante invertible en $A$ .
En el caso $A=\mathbf Z$ Esto significa que la matriz tiene un determinante $\pm1$ .
Geoff Robinson
Puntos
17610
Como sugiere su título, ${\rm GL}(n, \mathbb{Z})$ es realmente un grupo. Está formado por aquellas matrices enteras con determinante distinto de cero cuyas inversas son también matrices enteras ( y dichas matrices tienen todas determinante $\pm 1$ como otros han señalado).
Lo que no es un grupo es el conjunto de $n \times n$ matrices enteras de determinante no nulo. Estas tienen inversas con entradas racionales, pero no suelen tener entradas enteras.
C. Falcon
Puntos
2643
Cfr
Puntos
2525
De manera general, si se considera una matriz $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb Z)$ , se tiene la relación $$A.\mathbf{adj}(A)=\det(A)I_n \tag{1}$$ donde $\mathbf{adj}(A)$ representa el matriz adjunta de $A$ . La matriz adjunta $\mathbf{A}$ también pertenece a $\mathcal{M}_n(\mathbb Z)$ .
La relación (1) permite demostrar que una matriz $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb Z)$ es invertible si y sólo si su determinante es un elemento invertible de $\mathbb Z$ es decir, es igual a $\pm 1$ .
Que es una prueba de la respuesta proporcionada por Sheol .
testman
Puntos
467
1 votos
Para un anillo conmutativo $R$ , $GL(n, R)$ es el grupo de matrices invertibles, es decir, matrices cuyos determinantes son unidades en $R$ .
3 votos
Para responder a su pregunta, necesitamos saber qué tipo de definición de $GL_n(\Bbb Z)$ en la que estás pensando. Hay una generalización "obvia" de la definición sobre campos que menciona determinantes no nulos, y para la cual $GL_n(\Bbb Z)$ efectivamente no forma un grupo. Pero como la noción resultante resulta ser poco útil, se trata en realidad de no la definición comúnmente aceptada de $GL_n(\Bbb Z)$ y con la definición adecuada (es un conjunto más pequeño, pero) sí forma un grupo. Algunas de las respuestas dadas suponen la definición "corregida".