Sobre el progreso en matemáticas: algunos problemas abiertos y de larga data de las conjeturas

Question

Me gustaría hacer una pregunta aquí en Matemáticas de Intercambio de la Pila tomando la inspiración (y por lo tanto la combinación de dos conocidos hilos en MathOverflow: (1) No es especialmente famoso, de larga problemas abiertos que cualquiera puede entender; (2) La resolución de la conjetura que/problema avance en las Matemáticas?

Mi pregunta es:

Podría lista (dando un sonido motivación y documentos de referencia) algunos de larga data de conjeturas o de larga problemas abiertos en matemáticas (o incluso en la física matemática) que son intrínsecamente interesante y

(1) no tan "mainstream" (con lo que quiero decir: no hay necesidad de mencionar el Millenium Problemas o Hipótesis de Riemann (o similar famoso preguntas);

(2) son extremadamente importantes debido a que su solución implica un avance importante en un área de las matemáticas y también en las matemáticas como un todo;

(3) puede estar indicado en algunos apropiado, pero razonablemente breve, la forma sin la participación de muy abstrusos conceptos y términos;

(4) han sido objeto de algunas (pequeñas) el progreso hacia una solución en los últimos años.

Answer 1

No es muy famoso, pero debe ser; algo que casi todos los alumnos de matemática encuentro sin darse cuenta de ello, la integración numérica del problema. El problema de si una integral indefinida tiene una forma cerrada antiderivitive expresable en funciones elementales se resuelve, en la forma de un semi-algoritmo, el algoritmo de Risch. No hay ninguna similar semi-algoritmo o respuesta sobre la existencia de un algoritmo para integrales definidas: ¿un dado de la integral definida tiene una solución se puede expresar en funciones elementales?

La existencia de un algoritmo, asumiendo que es eficiente y que termina en una cantidad razonable de tiempo, responder a los numerosos problemas en la trascendencia de la teoría junto con muchas de las aplicaciones de computación de alto rendimiento y sistemas de álgebra computacional.

Considere, por ejemplo, algunos de los más votada preguntas en este sitio relacionadas con las integrales definidas, uno de ellos con una solución de forma cerrada, y un sin:

$$I=\int_{-1}^1\frac1x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\ln\left(\frac{2\,x^2+2\,x+1}{2\,x^2-2\,x+1}\right)\ \mathrm dx.$$

Esto puede ser atacado con un par de técnicas para una respuesta exacta aquí:

$\large\hspace{3in}I=4\,\pi\operatorname{arccot}$$\sqrt\phi$

Pero estas técnicas no se aplican a todos los de la integral definida.

En particular, esta pregunta se pide una solución de forma cerrada para esta integral definida:

$$\int_{0}^{\Large\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(1+x^2)(1+\tan x)}\,\mathrm dx$$

Se desconoce cuál es la forma cerrada de la solución a esto es, y puede ser posible nonconstructively de probar que no existe, sin realmente ser capaz de decir lo que es. La respuesta es ambigua en cuanto a si la particular forma cerrada solución para esto existe.

Ahora bien, si estos tipos de integrales definidas se había cerrado de forma antiderivitives, uno podría simplemente aplicar el teorema fundamental del cálculo para dar soluciones de forma cerrada. Pero el algoritmo de Risch nos dice la forma cerrada antiderivitives a estas expresiones no existe por lo tanto, debemos recurrir a la heurística que se aplican a clases específicas de las integrales definidas. Algunos de ellos son bastante emocionantes, como la countour integración del enfoque utilizado en el primer problema; pero esto está lejos de un algoritmo genérico otros análogos a la Fuerza de las integrales definidas.

Lo que es sorprendente para mí es cómo la prensa poco este problema recibe en comparación con los grandes problemas de moderado interés y de poco valor aplicable como la conjetura de Goldbach.

http://mathworld.wolfram.com/DefiniteIntegral.html

Answer 2

Dado un cerrado topológico colector $M$, tenemos que preguntarnos si $M$ admite una suave estructura, y si la estructura es única. Es fácil mostrar que es el caso en las dimensiones de $1$$2$, y es trivial, pero también es cierto que la dimensión $3$. Falla en la dimensión $4$, pero ha habido un gran progreso en tratar de determinar que $4$-colectores son smoothable. Tome $M$ a ser simplemente conectado, cerró $4$-colector. Puramente algebraico-topológico razones (aunque también hay una sencilla prueba geométrica; véase, por ejemplo, Scorpan muy legible Mundo Salvaje de $4$-Manfiolds), $M$ se determina hasta homotopy equivalencia por su intersección formulario de $i_M:H_2(M) \otimes H_2(M) \to H_4(M) = \mathbb{Z}$. (Desde $\pi_1 M = 0$, el colector $M$ es claramente orientables, y nos lo tomamos a ser orientado.) Hay otro invariante, llamado Kirby-Siebenmann invariante $\operatorname{ks}(M)\in H^4(M)$, que es una obstrucción a smoothability. Si asumimos que el $\operatorname{ks}(M)$ se desvanece, ahora nos podemos preguntar si el que las formas $i_M$ corresponden a suavizar los colectores.

El caso concreto de los resultados de Freedman y Donaldson de la '$80$s: Si $i_M$ es definitivo, a continuación, $M$ es smoothable iff $i_M$ es diagonalizable. (Recordemos que estamos trabajando sobre $\mathbb{Z}$ a lo largo.) Si $i_M$ es de carácter indefinido y el impar, entonces es automáticamente suave. El caso de $i_M$ indefinido e incluso, a pesar de que, actualmente, se desconoce. Tal $i_M$ debe ser de la forma $i_M = H^{\oplus n} \oplus E^{\oplus 2m}$ donde $H$ $E$ son ciertas formas con \begin{align*} \dim H &= 2 & \sigma(H) &= 0;\\ \dim E &= 8 & \sigma(E) &= \pm 8 \end{align*} (El signo de la firma de $\sigma(E)$ depende de la orientación de los convenios que he sido demasiado perezoso acerca anterior para definir rigurosamente ahora.) Si $m \leq 2n$, entonces se sabe que $M$ no es smoothable. Si $m\geq 3n$, entonces se sabe que $M$ es smoothable. El caso general, sin embargo, es desconocido. (Hay un par de pares de $(n, m)$ para que la respuesta es conocido). Desde $\dim i_M = 2n + 16m$$\sigma(i_M) = \pm 16m$, podemos repetir los resultados anteriores como diciendo que $M$ es smoothable si $\dim i_M \geq \frac{11}{8} |\sigma(M)|$ y no smoothable si $\dim i_M \leq \frac{10}{8} |\sigma(M)|$. El $11/8$-conjetura indica que el $\frac{11}{8}$ es la mejor constante posible en la ex mitad de la frase anterior: cualquier $M$ $\dim M < \frac{11}{8} |\sigma(M)|$ no tiene liso de la estructura.

Lo que hace de esta situación particular, de manera muy interesante es que muchas de las herramientas disponibles en dimensiones superiores - - - $h$- cobordism teorema, handlebody descomposiciones, la cirugía de la teoría, etc.--- no se aplican o no son tan extremadamente útil en la dimensión $4$. Por otro lado, la escasa dimensión simplifica la materia, como en la determinación del $M$ hasta homotopy equivalencia tan sólo por la forma $i_M$. Hay un poco de fenómenos extraños que son exclusivos para la dimensión de $4$, tal como exóticas $\mathbb{R}^4$s. El $\frac{11}{8}$-conjetura es un intento de averiguar qué es exactamente que está pasando en estos raros casos.

Answer 3

Hmm, creo que los requisitos que imponen a una posible respuesta son contradictorias en cierto sentido. Por lo tanto, te sugiero que primero echar un vistazo a la Preguntas Sin Respuesta lista de MSE en sí.
Donde las preguntas sin una respuesta satisfactoria pasar desapercibido, por supuesto. He aquí una breve lista de mis favoritos personales; Yo no puedo y no voy a hablar de las masas.

• ¿Cuándo ecuaciones representan la misma curva?
• Ternario equilibrio con desconocidos peso
• Lineal isoparametrics con el doble de elementos finitos , o debería ser:
  ¿Qué sucede si la doble polytopes son interpolados, como en FEM ?
  (Recibido un tumbleweed insignia para este y no estoy satisfecho)