Una simple caracterización del Movimiento Browniano

Question

Un conocido de la caracterización del Movimiento Browniano dice que es el único proceso continuo $X_t$ (definido en $[0,\infty)$) tales que

• $P(X_0=0)=1$, $E[X_t^2]=t$, $E[X_t]=0$ para cualquier $t\ge 0$
• los incrementos son independientes, que es $X_{t_n}-X_{t_{n-1}},\dots,X_{t_1}-X_{t_0}$ son independientes de cualquier secuencia finita $0\le t_0<t_1<\dots<t_n$
• para cualquier $h>0$ la ley de $X_{t+h}-X_t$ sólo depende de $h$
• $E[|X_t|^3]\le C$ cualquier $t\in [0,\delta]$ donde $C$ $\delta$ son algunas de las constantes positivas (esta es la única técnica de hipótesis).

He leído que hay una escuela primaria prueba de esta caracterización (es decir, que este proceso es un Movimiento Browniano), basado en el teorema del límite central (de hecho, lo único que demuestra es que los incrementos tienen distribución normal, por lo que es razonable que CLT podría ayudar), pero no puedo ver cómo esto se puede hacer. ¿Tiene usted alguna idea o referencias?

Actualización: al Parecer, la última técnica hipótesis no es necesario. Véase mi respuesta a continuación.

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, tenemos que mostrar que para cada una de las $t$, la variable aleatoria $X_t$ es Gaussiano.

Un primer enfoque será el siguiente: escribimos para un fijo $t$, $$X_t=\sum_{j=1}^n X_{ t\frac jn} - X_{ t\frac{j-1}n}=:\sum_{j=1}^n Y_{n,j} $$ y demuestra que la secuencia $\left(\sum\limits_{j=1}^n Y_{n,j}\right)_n$ satisface Lindeberg la condición para que el teorema central del límite, es decir, tenemos que probar que $$\tag{Lindeberg} \mbox{ for each positive } \varepsilon ,\quad n\mathbb E[X_{t /n}^2 \chi\{| X_{t /n}|\gt \varepsilon\} ]=0. $$

La reclamación. La secuencia de $(n\mathbb E[|X_{t/n}|^3 ] )_{n\geqslant n_0} $ es acotado, donde $n_0$ es tal que $t/n_0\lt\delta$.

Para ver esto, hacemos uso de Rosenthal de la desigualdad con el independiente y centrada en la familia de variables aleatorias $(X_{tj/n}-X_{t(j-1)/n} )_{j=1}^n $ y el exponente $3$. Tenemos que $$\sum_{j=1}^n\mathbb E|X_{tj/n}-X_{t(j-1)/n} |^3 \leqslant K\mathbb E[|X_t|^3 ].$$ El plazo $\mathbb E[|X_t|^3 ]$ es finito, incluso si $t$ es mayor que $\delta$ (escribimos $X_t$ como finita de la suma de los incrementos de $X_{t_i}-X_{t_{i-1} } $, e $t_i-t_{i-1}\leqslant\delta$). De este modo, obtener por la estacionariedad de los incrementos que $$n\mathbb E|X_{t/n}|^3\leqslant KC(t), $$ donde $C(t)$ sólo depende de $t$. Esto demuestra la reclamación.

Lema. Condición (Lindeberg) se satisface si para cada uno positivo $\varepsilon$, $n\mathbb P(|X_{t/n}|\gt\varepsilon )\to 0$.

De hecho, tenemos para cada una de las $n$$R$, $$n\mathbb E[X_{t /n}^2 \chi\{| X_{t /n}|\gt \varepsilon\} ]\leqslant \frac nR\mathbb E|X_{t/n} |^3 +R^2n\mathbb P(|X_{t/n} |\gt\varepsilon )$$ y por la demanda, $$n\mathbb E\left[X_{t /n}^2 \chi\{| X_{t /n}|\gt \varepsilon\}\right]\leqslant \frac{ KC(t)}R +R^2n\mathbb P(|X_{t/n} |\gt\varepsilon ).$$ Para concluir la prueba, nos damos cuenta de que $$1-\left(1-P(|X_{t/n}|>\varepsilon)\right)^n=P\left(|Y_{n,i}|>\varepsilon\text{ for some }1\le i\le n\right)\to 0$$ como $n\to\infty$ por el uniforme de la continuidad de la $s\mapsto X_s$$[0,t]$. Así $n\log\left(1-P(|X_{t/n}|>\varepsilon)\right)\to 0$, pero $$n\log\left(1-P(|X_{t/n}|>\varepsilon)\right)\le -nP(|X_{t/n}|>\varepsilon)\le 0,$$ así que finalmente llegamos $nP(|X_{t/n}|>\varepsilon)\to 0$, lo que completa la prueba.

Answer 2

Acabo de encontrar otra prueba (no la mía) que no utiliza la última hipótesis, en la tercera momentos, por lo que estoy escribiendo aquí por su propio interés.

Se utilizan dos hechos simples:

1. Para cualquier $t>0$ la función característica de a $X_t$ nunca desaparece: $\mathbb{E}[e^{iuX_t}]\neq 0$ (ver aquí). Así que hay una bien definida la elección de un logaritmo, $u\mapsto \ln\mathbb{E}[e^{iuX_t}]$, de tal manera que este mapa es continua (como $u\in\mathbb{R}$ varía) y nula en $u=0$. Vamos implícitamente se refieren a esta elección.
2. Fijar un tiempo de $T>0$. Como Davide ya mostró en el final de su respuesta, por cualquier $\epsilon$ tenemos $n\mathbb{P}(|X_{T/n}|>\epsilon)\to 0$$n\to\infty$.

Desde el primer hecho, desde el $\ln \mathbb{E}[e^{iuX_T}]=\ln \mathbb{E}[e^{iuX_{T/n}}]^n=n\ln\mathbb{E}[e^{iuX_{T/n}}]$, tenemos $\ln\mathbb{E}[e^{iX_{T/n}}]=\frac{1}{n}\ln\mathbb{E}[e^{iX_T}]$, por lo que $$\mathbb{E}[e^{iX_{T/n}}]=\exp(\frac{1}{n}\ln\mathbb{E}[e^{iX_T}])=1+\frac{1}{n}\ln\mathbb{E}[e^{iX_T}]+O(\frac{1}{n^2})$$ y, finalmente, $$n\mathbb{E}[e^{iX_{T/n}}-1]\to\ln\mathbb{E}[e^{iX_T}]\ \ \ \ (*)$$

Ahora el segundo hecho implica que

Para cualquier delimitada la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)=o(x^2)$ tenemos $n\mathbb{E}[f(X_{T/n})]\to 0$

Para demostrar esto puso a $M:=\|f\|_\infty$ y corregir $\epsilon'>0$. A continuación, podemos encontrar algunos de $\epsilon>0$ s.t. para cualquier $|x|\le\epsilon$ tenemos $|f(x)|\le\epsilon'x^2$, por lo tanto $n|\mathbb{E}[f(X_{T/n})]|\le n|\mathbb{E}[f(X_{T/n})1_{|X_{T/n}|>\epsilon}]|+n|\mathbb{E}[f(X_{T/n})1_{|X_{T/n}|\le\epsilon}]|$. Pero el primer término tiende a $0$ (como es $\le nM\mathbb{P}(|X_{T/n}|>\epsilon)$), mientras que el segundo término es $\le n\epsilon'\mathbb{E}[X_{T/n}^2]=\epsilon'T$. Desde $\epsilon'$ es arbitrariamente pequeño, esto demuestra nuestro reclamo.

En particular, la elección de $f(x):=\cos (x)-1+\frac{x^2}{2}1_{|x|\le 1}$ y tomando la parte real de la $(*)$, podemos deducir que el límite $\lim_{n\to\infty}n\mathbb{E}[X_{T/n}^2 1_{|X_{T/n}|\le 1}]=:A$ existe (y es finito). De la misma manera (usando la parte imaginaria de $(*)$) $\lim_{n\to\infty}n\mathbb{E}[X_{T/n} 1_{|X_{T/n}|\le 1}]=:\gamma$ existe.

Finalmente, con $f(x):=e^{iux}-e^{iux}1_{|x|\le 1}$, obtenemos $$ g(u):=\ln\mathbb{E}[e^{iuX_T}]=n\ln\mathbb{E}[e^{iuX_{T/n}}]=n\ln\left(\mathbb{E}[e^{iuX_{T/n}}1_{|X_{T/n}|\le 1}]+o\left(\frac{1}{n}\right)\right) $$ y con $f(x):=e^{iux}1_{|x|\le 1}-(1+iux-\frac{u^2}{2}x^2)1_{|x|\le 1}$ (ahora $u\in\mathbb{R}$ es fijo) obtenemos $$ g(u)=n\ln\left(\mathbb{E}[(1+iuX_{T/n}-\frac{u^2}{2}X_{T/n}^2)1_{|X_{T/n}|\le 1}]+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=n\ln\left(1+\frac{iu\gamma}{n}-\frac{u^2}{2n}A+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=n\left(\frac{iu\gamma}{n}-\frac{u^2}{2n}A+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\to iu\gamma-\frac{u^2}{2}A $$ y esto demuestra que $X_T$ ha gaussiano densidad.

(He encontrado esta prueba esbozado en algunas notas de la conferencia de Peter Tankov.)