La asociatividad del producto de las medidas de

Question

Supongamos que tenemos de medir los espacios de $(X_i, M_i, \mu_i), i=1, 2,3$, que se completa y $\sigma$-finito. Aprendí cómo se forma un producto de la medida de dos medir los espacios, pero yo no estaba tan seguro acerca del producto de más de dos. Así que estoy aprendiendo acerca de ello en el momento. Me preguntaba, ¿cómo puede uno demostrar que $$ \mu_1 \times (\mu_2 \times \mu_3) = (\mu_1 \times \mu_2) \times \mu_3. $$ Cualquier sugerencia o solución que se aprecia. Gracias!

PS yo también estaba preguntando acerca de $$ M_1 \times (M_2 \times M_3) = (M_1 \times M_2) \times M_3. $$

Answer 1

En el siguiente voy a demostrar que el producto de las tres medidas es asociativa. Esto puede ser fácilmente generalizado a un número finito de medidas y, posiblemente, a countably muchas medidas. Como el OP indica en su post scriptum, todo se reduce a probar que la asociatividad resultado de la $\sigma$-álgebras de los involucrados.

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Deje $(X_i,\Sigma_i, \mu_i)$ ser una medida de espacio, $i = 1,\ 2,\ 3$. En el siguiente voy a utilizar las notaciones $$\Sigma_i \times \Sigma_j = \{A \times B : A \in \Sigma_i,\ B \in \Sigma_j\}$$ $$\Sigma_i \otimes \Sigma_j = \sigma\big(\Sigma_i \times \Sigma_j\big),$$ where $\sigma(\cdot)$ indicates the $\sigma$-algebra generated by the argument, i.e. the smallest $\sigma$-álgebra que contiene el argumento. Podemos, finalmente, el estado de el resultado que queremos probar

RECLAMO: $\Sigma_1 \otimes \Sigma_2 \otimes \Sigma_3 := \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3) = \sigma((\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3) = \sigma(\Sigma_1 \times (\Sigma_2 \otimes \Sigma_3)).$

Sinopsis de la prueba: $\Sigma_i \times \Sigma_j \subset \Sigma_i \otimes \Sigma_j$ $\pi$-sistema. Definir el "buen juego" y aplicar el $\pi-\Lambda$-sistema Teorema. A continuación, utilice el minimality de $\sigma(\cdot)$ varias veces.

PRUEBA: Aviso que $$(\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3 = \{A \times B : A \in \Sigma_1\otimes\Sigma_2,\ B \in \Sigma_3\},$$ a continuación, fije $B \in \Sigma_3$ y deje $$\Lambda = \{A : A \in \Sigma_1 \otimes \Sigma_2,\ A \times B \in \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3)\}.$$

Claramente $\Sigma_1 \times \Sigma_2 \subset \Lambda$. Vamos a demostrar que $\Lambda$ $\Lambda$- sistema.

• $X_1 \times X_2 \times B \in \Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3$ $X_1 \times X_2 \in \Lambda$.
• Vamos $A_1,A_2 \in \Lambda$, $A_1 \subset A_2$. Tenemos que mostrar que $A_2 \setminus A_1 \in \Lambda$, es decir, debemos demostrar que $(A_2 \setminus A_1) \times B \in \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3)$. Esto es fácil, ya que $\sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3)$ $\sigma$- álgebra, de hecho, $$(A_2 \setminus A_1) \times B = (A_2 \times B) \setminus (A_1 \times B) = (A_2 \times B) \cap (A_1 \times B)^c \in \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3).$$
• Deje $\{A_i\}$ será cada vez más una secuencia de conjuntos en $\Lambda$. Tenemos que mostrar que $\cup A_i \in \Lambda$. Como antes, esto fácilmente se deduce del hecho de que $\sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3)$ $\sigma$- álgebra. Vamos a escribir los detalles! $$\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\Big) \times B = \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i \times B) \in \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3).$$

Finalmente, podemos aplicar el $\pi-\Lambda$-sistema Teorema a la conclusión de que la $\sigma (\Sigma_1 \times \Sigma_2) \subset \Lambda$ y, por tanto, $\sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2) \times B \subset \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3).$ Como esto es cierto para todos los $B \in \Sigma_3$ lo que, obviamente, se que $$(\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3 \subset \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3),$$ which in turn yields $$\sigma((\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3) \subset \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3).$$

Aviso podemos aplicar el mismo razonamiento para demostrar que $$\sigma(\Sigma_1 \times (\Sigma_2 \otimes \Sigma_3)) \subset \sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3).$$

La otra inclusión es mucho más simple: $\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3 \subset (\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3$, por lo que el $$\sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3) \subset \sigma((\Sigma_1 \otimes \Sigma_2) \times \Sigma_3),$$ y, de igual modo $$\sigma(\Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \Sigma_3) \subset \sigma(\Sigma_1 \times (\Sigma_2 \otimes \Sigma_3)).$$

Esto demuestra la reclamación. $\blacksquare$

¿Qué sucede con las medidas fue cubierto por David C. Ullrich en la sección de comentarios más arriba.

Answer 2

También he pensado en la cuestión relativa a la asociatividad de la $\sigma$-álgebras y presentará otra prueba, que no hace uso de la $ \pi - \Lambda ~ - $ sistema Teorema , pero utiliza la imagen directa $ \sigma - $algebra:

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Como se mencionó deje $ (X_i, M_i, \mu_i) $ $ i = 1, 2, 3 $ $\sigma-$finito medir los espacios. A continuación, utilizando la misma notación como Giovanni $$ M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 = \sigma \underbrace{\bigl \{ A_1 \times A_2 \times A_3 \bigl | A_i \in M_i \bigr \}}_{= M_1 \times M_2 \times M_3} $$ y $$ M_1 \otimes ( M_2 \otimes M_3 ) = \sigma \underbrace{\bigl \{ A \times \Omega \bigl | A \in M_1, \Omega \in M_2 \otimes M_3 \bigr \}}_{=M_1 \times (M_2 \otimes M_3)}. $$

Mediante el uso de la imagen directa $\sigma-$álgebra vamos a mostrar que estos $\sigma-$álgebras son iguales:

Primer Paso: es obvio que $ M_1 \times M_2 \times M_3 \subset M_1 \times (M_2 \otimes M_3) $ desde cada rectángulo $ A_2 \times A_3 $, $ A_i \in M_i $ se encuentra en $ M_2 \otimes M_3 $. Por lo tanto $ M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 \subset M_1 \otimes ( M_2 \otimes M_3) $.

Segundo Paso: vamos a demostrar que también $ M_1 \otimes (M_2 \otimes M_3) \subset M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 $, lo que demuestra la asociatividad:

Considere la posibilidad de la proyección de $ \pi: X_1 \times X_2 \times X_3 \to X_2 \times X_3, ~ \pi (x,y,z) = (y,z). $, a Continuación, la imagen directa $$ \pi_* (M_1 \otimes M_2 \otimes M_3) := \{ \Omega \in X_2 \times X_3 | X_1 \times \Omega = \pi^{-1} (\Omega) \in M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 \} $$ es una $ \sigma-$álgebra en $ X_2 \times X_3$. (Este es un hecho general).

Reclamo: $ M_2 \otimes M_3 \subset \pi_* (M_1 \otimes M_2 \otimes M_3) $.

La prueba de la Demanda: Por el minimality de la $\sigma-$álgebra, es suficiente para mostrar que $ M_2 \times M_3 \subset \pi_* (M_1 \otimes M_2 \otimes M_3) $. Así que vamos a $ A_2 \times A_3 \in M_2 \times M_3$. Pero entonces tenemos $$ X_1 \times A_2 \times A_3 \in M_1 \times M_2 \times M_3 $$ por definición, ya que $ X_1 \in M_1$. (Al final de la prueba de la demanda.)

Entonces, ¿por qué ayuda?

De nuevo por el minimality de la $\sigma-$álgebra, lo que tenemos que demostrar es que para cualquier $ A \in M_1, ~ \Omega \in M_2 \otimes M_3 $ sostiene que $$ A \times \Omega \in M_1 \otimes M_2 \otimes M_3. $$ Pero $ A \times \Omega = (A \times (X_2 \times X_3)) \cap (X_1 \times \Omega)$. Obviamente $ A \times (X_2 \times X_3 ) \in M_1 \times M_2 \times M_3 $. Por la anterior afirmación, también tenemos $ \Omega \in \pi_* (M_1 \otimes M_2 \otimes M_3) $ y, por tanto,$ X_1 \times \Omega \in M_1 \otimes M_2 \otimes M_3$. Pero desde $M_1 \otimes M_2 \otimes M_3$ $ \sigma-$álgebra, entonces también la intersección $ (A \times (X_2 \times X_3)) \cap (X_1 \times \Omega) = A \times \Omega \in M_1 \otimes M_2 \otimes M_3$. $ \square$