Probabilidad: 6 dados se ruedan. ¿Que es lo más probable es que usted consigue exactamente un 6, o que te 6 números diferentes?

Question

He aquí la pregunta:

6 Dados son lanzados. Lo que es más probable, que usted obtenga exactamente un 6, o que se obtiene 6 números diferentes?

Aquí está lo que he hecho:

El número de resultados posibles es de $6^6 = 46656$.

La probabilidad de obtener exactamente un 6 = $\frac{1}{6}\times(\frac{5}{6})^5 = \frac{3125}{46656}$

La probabilidad de obtener los seis números diferentes es:
$C(6,1)\times C(5,1)\times C(4,1)\times C(3,1)\times C(2,1)\times C(1,1) = \frac{720}{46656}$

Por lo tanto, si todo lo que he dicho anteriormente es cierto, entonces es más probable que usted va a rodar exactamente uno de seis. Sin embargo, no estoy seguro acerca de la última parte. Es esta la manera correcta de resolver este tipo de problema y las combinaciones parte simplificarse?

EDIT: Ya que yo también estoy en busca de una mejor idea de cómo resolver este tipo de problema, en lugar de sólo este caso específico, así que por favor podría incluir cómo resolver este problema para rodar 5 dados, así como/o en lugar de los 6 dados en su respuesta, por lo que puedo ver el patrón de lo que está sucediendo? Muchas gracias.

Answer 1

La pregunta es muy fácil de contestar sin cálculo de probabilidades. Cada combinación con seis números diferentes contiene exactamente uno seis. Luego hay combinaciones adicionales que contienen exactamente uno seis - e.g. 111116 $$. Así que la probabilidad de que exactamente uno seis es mayor.

Answer 2

El número de rollos con exactamente un 6 es $\binom{6}{1}5^5=18750$$ el número de rollos con los dados de diferentes $$ 6! = 720$ $

Para dados de $ $5, el número de rollos con exactamente un 6 es $\binom{5}{1}5^4=3125$$ y el número de rollos con los dados diferentes es de $$ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 = 720$ $ por lo que el número con exactamente un 6 es todavía mayor.

Answer 3

entonces es más probable que se deslice exactamente uno seis.

Intuitivamente tiene sentido, porque en cada una de las combinaciones donde cada dado es diferente, hay exactamente seis. Por lo tanto, hay más casos de una de seis que todos diferentes.

Answer 4

El truco es comparar los conjuntos de resultados posibles para cada condición. Cualquiera que sea la condición del conjunto de resultados tiene mayor cardinalidad -en otras palabras, lo que tiene más posibles resultados, es más probable que ocurra, y si los dos conjuntos son iguales en tamaño, entonces ellos son igualmente probables.

Cuando el número de dados es el mismo que el número de lados por morir -por ejemplo, 6d6 - usted puede tomar un atajo, al demostrar que una condición es un subconjunto de la otra. Esta es la forma en @MarkBennet la respuesta de obras. Porque hay tantos dados como lados, cada resultado con todos los diferentes números deben mostrar exactamente uno de cada número. Por lo tanto, como es posible que el número elegido para llegar a todos (el ejemplo se utiliza un 6 en una de las seis caras de morir), a continuación, todos los resultados con todos los diferentes números también debe tener exactamente uno de los eligió número. También puede mostrar los resultados que coincidan exactamente con uno de los seis que no tienen todos los números diferentes, como (2, 2, 3, 4, 5, 6), pero usted no puede mostrar los resultados con todos los diferentes números, pero no es exactamente uno de seis. Por lo tanto, el conjunto de resultados que coincidan exactamente con uno de los seis es mayor, y por lo tanto es más probable que el rollo de exactamente uno de seis.

Cuando hay más dados de lados, tiene un diferente acceso directo: el principio del palomar. Cada hilera debe mostrar algún número, de modo que ya no son más dados que los lados, siempre debe haber al menos un número que aparece dos veces. Esto significa que el conjunto de resultados con todos los diferentes números es cero, por lo tanto, como es posible que el número elegido para llegar a todos, entonces el conjunto de los resultados que coincidan exactamente con uno de los que tiene un mayor cardinalidad. Esto hace que exactamente uno de los seis más probable es que todos los números diferentes, porque hay no hay resultados posibles con todos los diferentes números.

Pero cuando hay más caras de los dados, no hay atajos. Usted todavía puede mostrar resultados que satisfacen ambas condiciones al mismo tiempo, como (2, 3, 4, 5, 6) en 5d6: todos los números diferentes, y exactamente uno de seis. Y todavía se puede mostrar resultados con exactamente un seis pero todos diferentes números: continuando con nuestro ejemplo, (3, 3, 4, 5, 6) en 5d6 es uno de ellos. Pero ahora, usted puede también mostrar los resultados que contiene todos los números diferentes, pero no exactamente de seis años: por ejemplo,(1, 2, 3, 4, 5).

Cuando no hay acceso directo, usted tiene que comparar las cardinalidades de ambos conjuntos, que es lo que hizo en la pregunta (y @MattS hizo en su respuesta). Lo que tiene mayor cardinalidad es más probable que ocurra.

Answer 5

Usted puede hacer esto sin que ninguna de las fórmulas que has escrito. Si todos mueren seis son diferentes, entonces no debe ser exactamente uno de cada número; en particular, no es exactamente un seis. Sin embargo, usted puede conseguir uno a seis y, a continuación, no todos los de los demás, por ejemplo $(6,1,1,1,1,1)$. Así vemos que el conjunto de resultados donde se obtiene exactamente seis llamar a este resultado $A$ - es estrictamente una contiene el conjunto de resultados donde se obtiene una de cada llamada a este resultado $B$. Así $$\Bbb P(A) > \Bbb P(B).$$ Sin embargo, esto no generalizar así: por ejemplo, cambiar a cinco dados y usted podría tener $(1,2,3,4,5)$, que es un miembro de $B$ pero no de $A$. Como tal, no es muy útil para el bit adicional que se pone, pero yo sólo pensé en hacerle saber acerca de ella de todos modos. :)