Producto Tensor de $\mathscr{O}_X$-módulos que se traduce en un presheaf.

Question

Antecedentes: Durante un localmente anillado espacio de $X$, si definimos el producto tensor de dos $\mathscr{O}_X$-módulos de $\mathscr{F}$ $\scr{G}$ ingenuamente como $U \mapsto \mathscr{F}(U) \otimes \mathscr{G}(U)$, no necesariamente tener una gavilla y nos sheafify este presheaf para obtener la definición de producto tensor de dos $\mathscr{O}_X$-módulos.

Lo que me gustaría saber es ¿cuál es la razón intuitiva de por qué el ingenuo definición no es una gavilla. Por ejemplo, en $\mathbb{P}^n = \mathrm{Proj}\,k[x_0,\dots, x_n]$, si tomamos el hyperplane $H=V(x_0)$,$\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(1)\otimes \mathscr{O}_H) \ne \Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(1))\otimes_k \Gamma(H,\mathscr{O}_H)$. Esto es debido a que en el lado izquierdo, en la sección global $x_0$ fue asesinado por $\mathscr{O}_H$, pero no en el lado derecho. Sin embargo, tengo una mala comprensión intuitiva aún de por qué los dos lados no son iguales. También, me gustaría saber acerca de los más exóticos casos así.

Pregunta: ¿Qué hace que la definición de $U \mapsto \mathscr{F}(U) \otimes \mathscr{G}(U)$ a no ser una gavilla?

Su ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Al $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ son tanto invertible gavillas de $\mathcal{O}_X$-módulos, el fracaso de la presheaf $U \mapsto \mathscr{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathscr{G}(U)$ a satisfacer la gavilla axioma puede ser visto como un fracaso de la $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ a ser trivializado en común una cubierta abierta de a $X$ "en una manera compatible".

¿Qué quiero decir con esto? Supongamos que existe un conjunto abierto $U \subset X$ que $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ se ha trivializado, y por otra parte tenemos que para cualquier subconjunto $V \subset U$, tenemos isomorphisms $\mathcal{O}(V) \to \mathscr{F}(V)$$\mathcal{O}(V) \to \mathscr{G}(V)$, y de estos respecto de las restricciones. Entonces, uno puede comprobar que el ingenuo definición de $(\mathscr{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathscr{G})(U) = \mathscr{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathscr{G}(U)$ va a satisfacer la gavilla axioma.

Esto, lamentablemente, no sucede en general, por lo sheafification nos dice que deberíamos definir el producto tensor gavilla $\mathscr{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathscr{G}$ por la regla $$ (\mathscr{F} \otimes_{\mathcal{S}_X} \mathscr{G})(U) := \left\{ (s_i) \in \prod_i \mathscr{F}(U \cap U_i) \otimes_{\mathcal{S}(U \cap U_i)} \mathscr{G}(U \cap U_i) \colon s_i |_{U \cap U_i \cap U_j} = s_j |_{U \cap U_i \cap U_j } \right\}, $$ donde $\{ U_i \}$ es una cubierta abierta de a $X$ que $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ son tanto banalizada (pero no necesariamente con las condiciones de compatibilidad).

Otro (bastante espectacular) ejemplo a tener en cuenta, lo que demuestra que el producto tensor de poleas no es sólo tomar el tensor en el nivel de secciones, que se pueden encontrar en este post, donde Matt E. observaciones en su respuesta que, por $n > 0$, $$ k = \Gamma(\mathbb{P}^d_{k}, \mathcal{S}_{\mathbb{P}^d}) = \Gamma(\mathbb{P}^d_k, \mathcal{S}(n) \otimes \mathcal{S}(-n)) \= \Gamma(\mathbb{P}^d_k, \mathcal{S}(n)) \otimes_k \underbrace{\Gamma(\mathbb{P}^d_k, \mathcal{S}(-n))}_{=0} = 0. $$