La intuición detrás de los coeficientes de Fourier

Question

La verdad es que estoy tratando de bucear en serie de Fourier y tienen algunos problemas para la comprensión de la idea detrás de los coeficientes de Fourier.

Vamos a tener una serie de Fourier $$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(\omega_nx) + b_n\sin(\omega_nx)]$$ where $x \in \langle-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\rangle$, $n \in \mathbb{N}$, $\omega_n = \frac{2\pi}{T}n$ is angular frequency, $T$ is the period of function $f$.

Si he entendido bien, yo diría que $a_n$/$b_n$ es la amplitud del coseno/funciones de seno con frecuencia $n$ Hz (armónica, ya que $n \in \mathbb{N}$). Y por la combinación de estos (posiblemente infinito) número de funciones que obtener la función $f$ (visualización, animación).

Ahora viene la parte interesante, las amplitudes de las/los coeficientes de $a_0$, $a_n$, $b_n$. Entiendo que los cálculos... multiplicando la ecuación por $\cos(\omega_kx)$/$\sin(\omega_kx)$, $k \in \mathbb{N}$ y la integración de más de $\langle-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\rangle$ resultados en: $$a_0=\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm{d}x,$$ $$a_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(\omega_kx)\mathrm{d}x,$$ $$b_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(\omega_kx)\mathrm{d}x.$$

Desde $\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm{d}x$ es el área debajo de la función $f$ en el intervalo $\langle-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\rangle$, $a_0$ puede interpretarse geométricamente como el valor promedio de la función $f$ en el intervalo de $\langle-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\rangle$ o como el nuevo centro de oscilación, en lugar de cero.

Lo que no entiendo es que ¿cómo $a_k$/$b_k$ puede interpretarse geométricamente. En particular, puedo imaginar cómo se $f(x)\cos(\omega_kx)$ aspecto pero no puedo envolver mi cabeza alrededor de el hecho de que el área debajo de $f(x)\cos(\omega_kx)$ en el intervalo de $\langle-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\rangle$ dividido por $\frac{2}{T}$ es la correcta amplitud de la función $cos(\omega_kx)$ a ser la función adecuada para ser agregado a otros a fortalecer la función $f$ (el mismo para la función seno). ¿Por qué hay un $2$? Y ¿cómo es posible que $\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(\omega_kx)\mathrm{d}x$ es el número de la derecha para determinar la correcta amplitud de la serie de Fourier? ¿Cuál es la relación entre el área bajo la función y la amplitud? Yo no lo puede ver geométricamente así que creo que se me olvida algo muy importante de la idea. O alguna propiedad de seno/coseno tal vez...

Puede alguien explicar la idea detrás de los coeficientes de Fourier o pegar un enlace donde se explica, por favor? He leído/visto un par de materiales que cubren este tema, pero no encontró las respuestas :( Generalmente los cálculos de coeficiente de Fourier, donde presentó, pero nunca la explicación de lo que hace en realidad en "el lenguaje humano". Yo considero que es muy importante en la comprensión de la esencia de la serie de Fourier.

Gracias de antemano por cualquier consejo.

Answer 1

Me alegra que hayas vuelto a publicar esto aquí; lo he visto en la MathOverflow antes y quería contestar, pero estaba cerrado (y lo que realmente es más apropiado en este caso.)

Como la respuesta no sugiere, tal vez la mejor manera de pensar sobre esto es en términos de álgebra lineal.

Sus senos y cosenos se forma una completa base ortonormales para su espacio de funciones. El producto interior en este espacio es $<f,g> = \int f(x)\bar{g(x)}dx$, y esto le da un directo interpretación geométrica de la integral intervienen en el cálculo de $a_n$$b_n$: usted es simplemente la proyección de su función hacia abajo sobre una determinada base de vectores para ver "cuánto" es en "esa dirección". El $2/T$ factor de frente viene de la normalización de los vectores de la base.

(Para obtener más detalles, consulte la desigualdad de Bessel y la identidad de Parseval, o un buen libro como Stein y Shakarchi del 'Análisis de Fourier: Una introducción.' Tienen una maravillosa explícita la visualización de este tipo en la página 78, donde demuestran que las sumas parciales $S_N(x)$ de la serie de Fourier de una función f(x) son la mejor aproximación posible con un trigonométricas polinomio de orden en la mayoría de las $N$.)

Su serie de Fourier, entonces, es equivalente a 'construir' f(x) de (una infinita combinación lineal de) vectores de la base en el espacio, y los coeficientes de $a_n$ $b_n$ dirá cuánto de cada uno de los que necesita. El hecho de que usted puede hacer todo esto es el contenido de la identidad de Parseval.

Answer 2

En mathoverflow.net Carlo Beenakker recomendado http://techhouse.brown.edu/~dmorris/proyectos/tutoriales/fourier_tutorial.pdf. Él golpeó el clavo (derecha) en la cabeza.

Answer 3

Me gusta pensar de los coeficientes de Fourier en términos de un ecualizador en un sistema estéreo. En un ecualizador, usted tiene un montón de esferas que proporcionan una amplitud de una determinada frecuencia. (En realidad, creo que es el cuadrado de la amplitud, pero no importa.) Es decir, usted puede tener un $40$ Hz marcar, $100$ Hz dial, etc. El conjunto de amplitudes de la marca ofrece una única representación de una función de volumen en términos de componentes de frecuencia (aunque pocos). Algunas funciones tienen más agudos, algunos más graves, pero el ecualizador proporciona una representación de la función de volumen de tal manera como para proporcionar control sobre cierta frecuencia amplitudes.

Los coeficientes de Fourier de una función de representar a la configuración de algunos de la función de ecualizador. Que el ecualizador subraya ciertos componentes de frecuencia y omite otros. Por supuesto, hay una infinita (pero contables) conjunto de esferas de una función periódica. Lo que pasa es que el dial de valores para las frecuencias más altas tienden a cero, como una necesidad para ser una representación de Fourier. La frecuencia cero, por otro lado, puede ser el control de volumen (aunque, tal vez, que las escalas de todos los coeficientes.)