¿Por qué oscilante secuencias divergen?

Question

La secuencia que se me presentan con está definido por

$$a_1=3,$$ $$ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n-1}$$

Veo que los valores de esta secuencia se $$3, \frac{3}{2},3, \frac{3}{2},3,...$$

Así que oscilan entre 3 y 3/2. ¿Por qué es esta secuencia divergentes y no convergente?

Answer 1

"Divergen" no significa "crecer": significa "no convergen". En este caso la secuencia de grupos en torno a los dos puntos separados,$3$$3/2$, llamado límite de puntos, en vez de converger en un solo punto.

En el típico cálculo de ajuste, el comportamiento de un límite como $\lim_{n \to \infty} n^2$ sería más apropiado considerar la convergencia de a $+\infty$ más que como divergentes, aunque por el motivo que sea este punto de vista no se enseña en los cursos introductorios.

Answer 2

Porque $$ \lim_{n\to\infty}a_{2n+1}=3 \text{ y } \lim_{n\to\infty}a_{2n}=\frac32 $$ y tenemos dos subsecuencias convergente a límites diferentes.

Answer 3

Una vez más detallado manera de explicarlo:

En una sucesión que converge a algún límite (vamos a llamar a $L$), si se van lo suficientemente lejos a lo largo de la secuencia (lo suficientemente grande como $n$), cada número en la secuencia a partir de ese punto es "lo suficientemente cerca" a $L$. Pero lo que cuenta como "lo suficientemente cerca"? Así, el punto de convergencia es que no importa. No importa lo que el umbral que usted elija para "lo suficientemente cerca", hay algún punto en el que todos los números restantes en la secuencia son "lo suficientemente cerca" a $L$.

La secuencia que estamos viendo no tiene esa propiedad. Si intenta $L = 3$, entonces es que no es el caso que todos los números más allá de un cierto punto están suficientemente cerca de a $3$. Yo podía elegir "lo suficientemente cerca" ser "dentro de $0.1$" (por ejemplo) y, a continuación, usted está atascado con un número infinito de $\frac{3}{2}$s que no están lo suficientemente cerca para $3$. O si intenta $L = \frac{3}{2}$, es todo lo contrario: estás atascado con un número infinito de $3$s que no están lo suficientemente cerca para $\frac{3}{2}$. Esperemos que se puede decir que si intenta cualquier otro número como $L$, el $3$s o $\frac{3}{2}$s, o ambos, no estar lo suficientemente cerca de a $L$.

Así que la secuencia no convergen. Esa es precisamente la definición de una secuencia divergente: uno que no convergen.

Answer 4

¿Sabe usted esto:

$$\lim_{n\to\infty }x_n=A \iff \lim_{n\to\infty }x_{2n}=A= \lim_{n\to\infty }x_{2n+1}$$