Suponga que $S$ es un compacto de superficie en $\mathbb{R}^3$. Su curvatura de Gauss es denotado por $\kappa$.
Es cierto que el $\kappa$ tiene más de dos puntos críticos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede prescribir la curvatura Gaussiana de la función en la de una esfera lisa mientras es positiva (Kazdan y Warner, 1980) y, a continuación, incrustar la superficie isométricamente como una superficie convexa en $E^3$: Alexandrov, Pogorelov, Nierenberg. La historia de la incrustación resultado es un poco complicada: fue probada por primera vez por Alexandrov, en la década de 1940, sin ninguna suavidad propiedades; la suavidad (así como la singularidad de los convexo incrustar) fue establecido poco después por Pogorelov y unos años más tarde por Nierenberg. Nierenberg la prueba es probablemente el más legible. Voy a perseguir a las referencias cuando tengo tiempo.
Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es negativa, usted puede tener exactamente dos puntos críticos. Sería interesante averiguar si su pregunta acerca de los puntos críticos tiene una respuesta positiva para la media de la curvatura de la función.
