Probar los operadores de $T+U$ $U$ tienen los mismos autovalores donde $T$ es nilpotent

Question

Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial en $\mathbb{C}$, e $T$ un nilpotent operador en $V$. Deje $U$ $L(V)$ s.t. $UT = TU$. Probar que los operadores $T+U$ $U$ tienen los mismos autovalores.

Hasta ahora sé que el polinomio característico de a$T$$x^n$, pero estoy teniendo un tiempo difícil avanzar desde allí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, creo que todos estamos de acuerdo en que esto es obvio para $T=0$, así que vamos a suponer que $T\neq0$ para el resto de este post.

En primer lugar, echemos un vistazo a la conmutatividad de la relación entre el$T$$U$. Desde $TU=UT$, si tomamos un autovector $v$ $U$ con autovalor $\lambda$, ¿qué podemos decir acerca de la $UT\left(v\right)$? Cuando se mira en esto, sólo recuerda que $UT\left(v\right)=U\left(T\left(v\right)\right)$, y usted debería ver lo que pasa cuando te metes en torno al uso de la conmutatividad.

A continuación, para cada autovalor $\lambda$$U$, vamos a seleccionar un autovector $v$. Desde $T$ es nilpotent, existe $n$, de modo que $T^{n-1}\neq0$$T^{n}=0$. Así que, ¿qué se puede decir acerca de la $\left(T+U\right)\left(T^{n-1}v\right)$? Esta debe ser una dirección de la prueba para usted.

La otra dirección no debería ser tan difícil. Mostrar que sólo $T+U$ viajes con $T$ y ver donde se puede obtener de ahí el uso de (versiones modificadas de) los argumentos en los dos párrafos anteriores.