Encontrar la integral de la $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx$

Question

encontrar el integeral $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx$$

Sé $$\dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\dfrac{(\sin{x}+\cos{x})^2-1}{\sin{x}+\cos{x}}=\sin{x}+\cos{x}-\dfrac{1}{\sin{x}+\cos{x}}$$

y $$\int(\sin{x}+\cos{x})dx=\sin{x}-\cos{x}+C$$ y $$\int\dfrac{1}{\sin{x}+\cos{x}}dx=\int\dfrac{1}{\sqrt{2}}\csc{(x+\dfrac{\pi}{4})}dx=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-\ln{(\cot{x}-\csc{x})})+C$$

Creo que este intgral tienen otros métodos.debido a que esta es una forma simple,

así que Mi Pregunta: puede que usted tenga otros métodos?

Answer 1

$$I=\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}dx\iff2I=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{\sin2x}{\cos\left(\dfrac\pi4-x\right)}dx$$

El uso de $\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$

$$2I=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{\cos2x}{\cos x}dx$$

Pero $\displaystyle\cos2x=2\cos^2x-1$

Usted puede utilizar la Integral de la función secante

Espero que usted pueda llevar a casa desde aquí

Answer 2

Sugerencia: $$\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}\frac{\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x}=$$ $$=\frac{2\sin{x}\cos{x}(\cos x-\sin x)}{2(\cos x-\sin x)(\sin{x}+\cos{x})}=$$ $$=\frac{\sin{2x}(\cos x-\sin x)}{2(\cos^2 x-\sin^2 x)}=\frac{\sin{2x}(\cos x-\sin x)}{2\cos2 x}$$ entonces

$\cos2x=t\implies-2\sin2xdx=dt,\sin x=\sqrt{(1-t)/2},\cos x=\sqrt{(1+t)/2}$

Answer 3

Otro método sería la sustitución de $u=tan(\frac{x}{2})$ y, a continuación, una fracción parcial de la descomposición.

Answer 4

Como Pierre Alvarez ya se dijo, este tipo de integrales son realmente los candidatos para la tangente de la mitad de ángulo de sustitución (sustitución de Weierstrass). El uso de $t=tan(\frac{x}{2})$ y brutal de la fuerza desde el principio (lo que usted hizo es muy bueno para la reducción de la complejidad del problema), después de la simplificación, se obtiene $$I=\int\dfrac{\sin{(x)}\cos{(x)}}{\sin{(x)}+\cos{(x)}}dx=\int\frac{4 t \left(t^2-1\right)}{(t^2-2 t-1) \left(t^2+1\right)^2}dt$$ Using partial fraction decomposition, the integrand write $$\frac{2 (t+1)}{\left(t^2+1\right)^2}-\frac{1}{t^2+1}+\frac{1}{t^2-2 t-1}$$ from which $$I=\frac{1}{4} \left(\frac{4 (t-1)}{t^2+1}+\sqrt{2} \log \left(-t+\sqrt{2}+1\right)-\sqrt{2} \log \left(t+\sqrt{2}-1\right)\right)$$which, after some simplication work, gives $$I=\frac{t-1}{t^2+1}-\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{t-1}{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{2}}$$ espero y deseo que no hizo ningún error (pero la idea es esa).

Answer 5

$$I=\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx$$ Vamos $t=\sin x-\cos x$, $dt=(\cos x+\sin x)dx$ $$I=\frac12\int_{-1}^{0}\frac{1-t^2}{2-t^2}dt=\frac12\int_{-1}^0\left(1+\frac{1}{t^2-2}\right)dt=\frac12\left[t-\frac1{2\sqrt2}\ln\left|\frac{t-\sqrt2}{t+\sqrt2}\right|\right]_{-1}^0=\frac12\left[1-\frac1{2\sqrt2}\left(\ln1-\ln\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\right)\right]=\frac18(4+\sqrt2\ln(3-2\sqrt2))\approx0.188838$$