Dos valores de medida es una medida de Dirac

Question

Deje $(X,\mathfrak B)$ ser un espacio medible tal que $\{x\}\in \mathfrak B$ todos los $x\in X$, y deje $\mu$ ser una medida positiva en este espacio que $$ \mu(B) \in\{0,1\} \quad\text{para todo }B\in \mathfrak B. $$ ¿Cuáles son los más suaves que las condiciones en $(X,\mathfrak B)$ que implica que $\mu =\delta_x$ algunos $x\in X$?

Es conocido a $\Bbb R$ con un Borel $\sigma$-álgebra, y creo que es bastante fácil que se extiende a $\Bbb R^n$. Me pregunto, sin embargo, si se tiene al menos localmente compacto polaco espacios, o tal vez para el caso más general. Yo también estoy interesado en los ejemplos de espacios en los que tal afirmación no se sostiene.

Answer 1

Un ejemplo sencillo en el que no tiene es una innumerable conjunto dotado de los contables-cocountable $\sigma$-álgebra. Si uno le $\mu(B)=1$ si $B$ ha contables complementar y $\mu(B)=0$ lo contrario, uno se pone un ejemplo en el que la medida no es una medida de Dirac.

En un countably generado el espacio, cada $0-1$valores de medida es en un átomo de la $\sigma$-álgebra y, por tanto, una de Dirac-medida. Esto se muestra en la Borel Espacios por Rao y Rao, en la página 14. La idea básica es tomar una contables secuencia $C_1,C_2,\ldots$ de los generadores y definir $D_n=C_n$ si $\mu(C_n)=1$ $D_n=C_n^c$ lo contrario. A continuación, $D=\bigcap_n D_n$ es un átomo de la $\sigma$-álgebra que $\mu(D)=1$. Si $x\in D$,$\delta_x=\mu$.

En particular, el resultado se mantiene para todos los polacos espacios.

Answer 2

Un buen caso para considerar:

Deje $X$ ser completamente regular del espacio topológico. El cero pone en $X$ son conjuntos de la forma $\{x \in X : f(x)=0\}$ donde $f : X \to \mathbb R$ es continua. El sigma-álgebra $\mathcal B$ de Baire establece en $X$ es el sigma-álgebra generada por el cero conjuntos. Alternativamente, $\mathcal B$ es el más pequeño de sigma-álgebra en $X$ de manera tal que cada continua con un valor real de la función es $\mathcal B$-medible.

La condición:

cada (countably-aditivo) $\{0,1\}$valores de medida en $\mathcal B$ es una medida de Dirac

es equivalente a la condición de que $X$ es real compacto.

Referencias:
Gillman y Jerison, Anillos de Funciones Continuas.
W. Moran, "las Medidas y las asignaciones de espacios topológicos." Proc. Londres Matemáticas. Soc. 19 (1969) 493-508.