Vamos $X$, $Y$ y $Y'$ (estándar) espacios de Borel. Dejamos $\mathcal B(X)$ ser el Borel $\sigma$-álgebra de $X$ $\mathcal P(X)$ a ser el espacio de Borel de las distribuciones de probabilidad en $X$ dotado de la topología de la debilidad de la convergencia, por lo que es un espacio de Borel así. Considere la posibilidad de cualquier conjunto de Borel $A\in \mathcal B(X\times \mathcal P(Y))$ y un pushforward operador $\pi_*:\mathcal P(Y\times Y')\to \mathcal P(Y)$ se define como $$ (\pi_*p)(B) = p(B\times Y') \qquad \forall B\in \mathcal B(Y). $$ ¿Qué podemos decir acerca de la mensurabilidad de $A':=\{(x,p):\pi_*p\in A_x\}\subseteq X\times \mathcal P(Y\times Y')$, donde $$ A_x:=\{q\in \mathcal P(Y):(x,q)\in A\}. $$
Si no me equivoco, obtenemos $A' = (\mathrm{id}_X\times \pi_*)^{-1}(A)$, por lo tanto, la cuestión puede reducirse a la medición de la mapa de $\pi_*$.
Creo que, de una forma más general el resultado es cierto. Deje $(\Omega,\mathcal F)$ $(\Omega',\mathcal F')$ ser arbitraria medibles espacios, y deje $\mathcal P$ ser un conjunto de todas las medidas de probabilidad en $(\Omega,\mathcal F)$ dotado de una $\sigma$-álgebra $\mathcal A$ generado por la evaluación de los mapas de $\theta_F:\mathcal P \to \Bbb R$ $\theta_F(p) = p(F)$ cualquier $F\in \mathcal F$$p\in \mathcal P$. Deje $(\mathcal Pi',\mathcal A')$ correspondiente medibles espacio de probabilidad medidas para $(\Omega',\mathcal F')$ y denotan por $\theta'_{F'}$ la correspondiente evaluación de los mapas. Para cualquier medibles $\varphi:\Omega\to\Omega'$ sostiene que $\varphi_*:\mathcal P\to\mathcal P'$ es medible.
Prueba: tenga en cuenta que para cualquier $p\in \mathcal P$ $F'\in \mathcal F'$ sostiene que $$ \theta'_{F'}(\varphi_*p) = p(\varphi^{-1}(F')) = \theta_{\varphi^{-1}(F')}(p) $$ por lo tanto $\theta'_{F'}\circ \varphi_* = \theta_{\varphi^{-1}(F')}$. Desde $\mathcal A'$ es generado por la evaluación de los mapas, para la medición de la $\varphi_*$ es necesario y suficiente que $\varphi_*^{-1}((\theta'_{F'})^{-1}(B))\in \mathcal A$ para cualquier Borel $B\subseteq \Bbb R$. El último hecho es cierto, ya que $$ \varphi_*^{-1}((\theta'_{F'})^{-1}(B)) = (\theta'_{F'}\circ \varphi_*)^{-1}(B) = (\theta_{\varphi^{-1}(F')})^{-1}(B)\in \mathcal Un $$ desde $\varphi^{-1}(F')\in \mathcal F$ $\mathcal A$ es generado por los mapas de $\theta_{F}$$F\in \mathcal F$.
