Ejercicio sobre espacios localmente anillados

Question

Intento resolver el ejercicio 2.19 de la página 65 de "Geometría Algebraica I" de U.Görtz/T.Wedhorn. El ejercicio dice:

Dejemos que $(X,O_X)$ sea un espacio localmente anillado, y $f\in O_X(X)$ . Definir $X_f:=\{ x\in X; f(x) \neq 0\}$ . Demostrar que $X_f$ es un subconjunto abierto de $X$ . ¿Qué es? $X_f$ si $X$ es un esquema afín?

Con respecto a la primera pregunta, no sé qué hacer. ¿No es necesario tener más información sobre la topología para probarlo?

Si tomamos $X$ como un esquema afín podemos suponer $X=\text{Spec}(A)$ para un anillo conmutativo $A$ . Entonces $X_f = D(f) = V(f)^c$ está claramente abierto. ¿Es eso cierto?

Answer 1

¿Qué significa la expresión $f (x)$ ¿se refiere a sí mismo? Lo entenderé como el residuo del germen $f_x$ módulo del ideal máximo del anillo local $\mathscr{O}_{X,x}$ .

Supongamos que $x$ es un punto tal que $f(x) \ne 0$ . Esto significa que $f_x$ no está en el ideal máximo de $\mathscr{O}_{X,x}$ y así $f_x$ es invertible. Entonces, debe existir una vecindad abierta $U$ de $x$ y un elemento $g$ en $\mathscr{O}_X (U)$ , de tal manera que $f_x g_x = 1$ en $\mathscr{O}_{X,x}$ . Considere el elemento $f |_U g$ . Desde $f_x g_x = 1$ debe existir una vecindad abierta $V$ de $x$ tal que $V \subseteq U$ y $f |_V g |_V = 1$ (por la construcción de colímetros dirigidos), es decir $f |_V$ es invertible en $\mathscr{O}_X (V)$ . Ahora está claro que para todos los $y$ en $V$ el germen $f_y$ es invertible en $\mathscr{O}_{X,y}$ y así $f (y) \ne 0$ para todos $y$ en $V$ . Así, $$D(f) = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$$ está abierto en $X$ .