Mostrar $f''+vf' +\alpha^2 f(1-f)=0$ tiene soluciones que satisfacen $\lim_{x \to - \infty}f=0$ y $\lim_{x \to \infty}f=1$ dado $v\leq -2\alpha < 0$

Question

He publicado esta pregunta antes, pero he tomado un enfoque completamente diferente aquí, es por eso que he vuelto a publicar como mi pregunta anterior ya era muy largo y tomó un enfoque diferente de aquí.

Me dan la ecuación de Fisher $$u_t=u_{xx}+\alpha ^2u(1-u)$$ donde $\alpha >0$ es una constante. Suponiendo ahora que $u(x,t) = f(x-vt)$ Necesito demostrar que existe una solución $f$ tal que $\lim\limits_{x \to - \infty}f=0$ y $\lim\limits_{x \to \infty}f=1$ siempre que $v \leq -2\alpha$ . Ahora sustituyendo $f$ en la ecuación diferencial obtenemos: $$f''+vf' +\alpha^2 f(1-f)=0$$ Donde $f$ es una función de una sola variable $\eta = x-vt$ .

A partir de aquí me adentraré en mi intento de resolver utilizando la linealización sobre los puntos estacionarios. Si alguien encuentra otro método para mostrar los resultados solicitados, ¡todavía concederé la recompensa!

Es fácil ver que los dos puntos estacionarios son $(f_0,f'_0)=(0,0)$ y $(f_1,f'_1)=(1,0)$ . Ahora voy a linealizar el sistema en estos puntos estacionarios, primero en $(f_0,f'_0)$ a través de $f=f_0 +\epsilon w_0$ alrededor de los primeros puntos estacionarios. Dejando fuera los términos de orden $\epsilon^2$ obtenemos la siguiente ecuación diferencial mediante la sustitución de esta $f$ : $$w_0''+vw'_0+\alpha^2 w_0=0 $$ La solución a esta ED es $w_0=Ae^{r_1 \eta}+Be^{r_2 \eta}$ donde $r_1 = \frac{-v + \sqrt{v^2-4\alpha^2}}{2}$ y $r_2 = \frac{-v - \sqrt{v^2-4\alpha^2}}{2}$ . Ahora usando $v \leq -2\alpha < 0$ vemos que $0 \leq \sqrt{v^2-4\alpha^2}< -v$ tal que $-v + \sqrt{v^2-4\alpha^2}$ y $-v-\sqrt{v^2-4\alpha^2 }$ son ambos mayores que cero. Así, alrededor del punto estacionario $(f,f')=(0,0)$ podemos aproximar la solución de $f$ por: $$f = f_0 + w_0 = Ae^{r_1 \eta}+Be^{r_2 \eta}$$ Donde ambos $r_1$ y $r_2$ son positivos, por lo que $f$ es creciente en el punto estacionario $(f,f')=(0,0)$ . Este es el primer resultado.

Ahora para el segundo punto estacionario utilizamos la linealización $f=f_1+\epsilon w_1 = 1 + \epsilon w_1$ . Esto convierte a la ED en: $$w_0''+vw'_0-\alpha^2 w_0=0 $$ con solución $w_1=Ce^{s_1\eta}+De^{s_2\eta}$ donde $s_1 = \frac{-v + \sqrt{v^2+4\alpha^2}}{2} > 0$ y $s_2=\frac{-v - \sqrt{v^2+4\alpha^2}}{2}<0$ Por tanto, la aproximación en torno a $(f,f')=(1,0)$ viene dada por $$f=f_1+ Ce^{s_1\eta}+De^{s_2\eta}=1+Ce^{s_1\eta}+De^{s_2\eta}$$ que puede ser creciente o decreciente, no puedo decirlo a menos que determinemos las constantes.

Mi pregunta es: ¿cómo debo proceder a partir de aquí? Creo que voy en la dirección correcta ya que escuché de algunos de mis compañeros que resolvieron el problema usando la linealización... Me doy cuenta de que incluso la conclusión de que la primera aproximación es creciente se tambalea porque entonces estoy haciendo la suposición de que $A$ y $B$ no son ambos negativos... Si alguien me puede ayudar sería increíble. Esta pregunta es de deberes pero ya se pasa el plazo, entregué lo que tenía y me fue bien en las otras preguntas. Solo estoy frustrado por mi incapacidad de llegar a algún lado con esta pregunta por más tiempo que le dedique... ¡Gracias de antemano!

¡P.D. si alguien tiene una forma mejor de resolverlo sería por supuesto muy bienvenido también! Gracias

Answer 1

Primero de todo, la "solución" de la ecuación dada,

$f''+vf' + \alpha^2 f(1-f)=0, \tag{1}$

parece ser todo un reto, si por resolver, nos referimos a la que se derive una forma cerrada, expresión analítica para $f(\eta)$. Sin embargo, mucho se puede decir acerca de las características cualitativas de las soluciones de (1); en particular, el OP específicas de investigación sobre la existencia de soluciones de $f(\eta) = f(x - vt)$ tal que $\lim_{x \to - \infty}f(x - vt) = 0$ $\lim_{x \to \infty}f(x - vt) = 1$ puede ser rigurosamente contestó en la afirmativa, siempre y cuando uno esté dispuesto a invocar algo más profundo de los resultados de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y/o sistemas dinámicos. Me refiero en este caso a los llamados estable colector de teorema y sus resultados, que afirman que las alineaciones de un no-lineal de la ecuación diferencial en hiperbólico puntos de equilibrio, es decir, aquellos en los que el Jacobino no tiene valor propio con parte real de fuga, describir con precisión la dinámica local de la original, el sistema no lineal en el siguiente sentido específico: vamos a

$\dot y = G(y) \tag{2}$

ser autónomo ecuación diferencial ordinaria definida en un abierto $\Omega \subset \Bbb R^n$$G \in C^1(\Omega, \Bbb R^n)$, y deje $y_0 \in \Omega$ ser un punto de equilibrio de $G$: $G(y_0) = 0$. Supongamos que $DG(y_0)$ $k$ autovalores con parte real negativa y $n - k$ autovalores con parte real positiva; entonces el subespacio $E_s$ de los vectores de tangentes a $\Bbb R^n$ $y_0$ generado por los $k$ vectores propios de a $DG(y_0)$ correspondiente a los valores propios con parte real negativa, es en realidad el espacio de la tangente en $y_0$ a un submanifold $W_s$ $\Bbb R^n$ $\Omega$ tiene la propiedad de que, para cualquier $y_1 \in W_s$, $\lim_{t \to \infty} \phi_t(y_1) = y_0$, donde $\phi_t$ es el flujo del campo vectorial $G(y)$; del mismo modo, el subespacio $E_u$ generado por los $n - k$ autovectores correspondientes a autovalores con parte real positiva es tangente a una submanifold $W_u$ tal que $\lim_{t \to -\infty} \phi_t(y_1) = y_0$$y_1 \in W_u$. Este resultado nos indica que el local esencial de la estabilidad de las características del flujo de $\psi_t$ de la linealizado del sistema

$\dot y = DG(y_0)y \tag{3}$

son, de hecho, se manifiesta en el flujo de la parte no lineal de la ecuación (2) en el sentido de que las familias de las soluciones de (3) que se encuentran en los lineales de los subespacios $E_s$, $E_u$ corresponden a las familias de las soluciones de (2) que se encuentran en los lineales de los subespacios $W_s$, $W_u$, al menos localmente, cerca de $y_0$. $W_s$ se llama estable colector de el punto de $y_0$; asimismo, $W_u$ que se denomina la inestable colector. Las demostraciones de estos resultados son decididamente no-elemental pero su invocación, o algo similar, es la única forma que conozco para demostrar, de manera rigurosa, que el buscado soluciones a (1) de hecho no existe.

La breve sinopsis de la estabilidad de colector de la teoría presentada en el anterior paragaph es de esperar que suficiente para completar los argumentos dados a continuación, más detalles se pueden encontrar en cualquiera de los varios recursos en línea; véase, por ejemplo, esta entrada de la wikipedia así como estas notas de la conferencia y este libro, ambos de los cuales están disponibles gratis en línea para descargar los textos.

Estas cosas dijo, definimos una nueva variable dependiente

$g(\eta) = f'(\eta), \tag{4}$

y proceda de la siguiente manera: la ecuación (1) puede ahora ser escrito como una de dos dimensiones, sistema de primer orden que consta de (4) y

$g'(\eta) = -vg(\eta) - \alpha^2 f(\eta)(1-f(\eta)); \tag{5}$

tomados en conjunto, (4) y (5) puede ser pensado como un campo de vectores $F(f, g)$ en el $f$-$g$ avión $\Bbb R^2$:

$F(f, g) = \begin{pmatrix} F_f \\ F_g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g \\ -v g - \alpha^2 f(1-f) \end{pmatrix}, \tag{6}$

y, a continuación, la ecuación diferencial se convierte en

$\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}' = F(f, g) = \begin{pmatrix} g \\ -vg - \alpha^2 f(1-f) \end{pmatrix}. \tag{7}$

Investigamos el flujo de (7) en el $f$-$g$ plano. De acuerdo con el procedimiento habitual, en primer lugar, encontrar los puntos de equilibrio o ceros de $F(f, g)$; el establecimiento de

$F(f, g) = \begin{pmatrix} g \\ -vg - \alpha^2 f(1-f) \end{pmatrix} = 0, \tag{8}$

es fácil ver que estos ceros se producen en los puntos $(f, g) = (0, 0)$, $(f, g) = (1, 0)$. Los aspectos cualitativos del flujo de $F$ en la vecindad de cualquiera de estos puntos puede ser investigado a través de la Jacobeo matriz$J_F$$F$; hemos

$J_F = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha^2(1 - 2 f) & -v \end{bmatrix} \tag{9}$

desde

$J_F = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_f}{\partial f} & \frac{\partial F_f}{\partial g} \\ \frac{\partial F_g}{\partial f} & \frac{\partial F_g}{\partial g} \end{bmatrix}. \tag{10}$

En $(f, g) = (0, 0)$, obtenemos

$J_F(0, 0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha^2 & -v \end{bmatrix}; \tag{11}$

los autovalores $\lambda$ $J_F(0, 0)$ satisfacer

$\lambda^2 + v \lambda + \alpha^2 = 0, \tag{12}$

de dónde hemos

$\lambda_\pm = \frac{1}{2}(-v \pm \sqrt{v^2 - 4\alpha^2}). \tag{13}$

La aplicación de la condición de $v \le -2\alpha < 0$ a (12) revela que, desde el $v^2 > v^2 - 4\alpha^2 \ge 0$, tanto $\lambda_\pm > 0$; $(0, 0)$ es, pues, puramente de repeler el punto de equilibrio; cualquier solución de partida lo suficientemente cerca de a $(0, 0)$ se alejará de esa ubicación como $\eta$ aumenta. Del mismo modo, como $\eta \to - \infty$, cualquier punto inicial lo suficientemente cerca de a $(0, 0)$ va a satisfacer $(f(\eta), g(\eta)) \to (0, 0)$; en particular, tenemos que $\lim_{\eta \to - \infty}f(\eta) = 0$; y desde $\eta = x - vt$, $x \to \pm \infty$ implica $\eta \to \pm \infty$ (asumiendo $t$ es fijo), por lo $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. Al $(f, g) = (1, 0)$, por otro lado, nos encontramos con que

$J_F(1, 0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \alpha^2 & -v \end{bmatrix}, \tag{14}$

y los autovalores de satisfacer las cuadrática

$\lambda^2 + v \lambda -\alpha^2 = 0, \tag{15}$

las raíces de los cuales son

$\lambda_\pm = \frac{1}{2}(-v \pm \sqrt{v^2 + 4\alpha^2}); \tag{16}$

en este caso, ya que los $v^2 + 4\alpha^2 > v^2$, podemos ver que los dos valores propios son de signos opuestos; por lo tanto, el punto de $(1, 0)$ es una silla de montar, y la correspondiente a la negativa autovalor $\lambda_-$ hay una trayectoria de $\gamma(\eta) = (f(\eta), g(\eta))$ $F(f, g)$ tal que $\lim_{\eta \to \infty} \gamma(\eta) = (1, 0)$; para una curva integral de $F$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{\eta \to \infty} f(\eta) = 1$. Así, hemos establecido la existencia de los dos tipos de soluciones de la cuestión requiere.

Establecida la existencia, es decir, ahorrar para una tácita advertencia: en el párrafo anterior hemos alineado el sistema (7) acerca de cada uno de sus dos puntos críticos y, a continuación, implícitamente se invoca estable colector de la teoría de como se describió anteriormente para mostrar que el comportamiento de las soluciones de (7) en las inmediaciones de su punto crítico es esencialmente el mismo que el de estas alineaciones. Mientras que esta línea de razonamiento es apelando a la intuición, deja un espacio en el rigor que debe ser dirigida a la obtención de una solución completa. Esta brecha puede ser cerrado por proporcionar una explicación más detallada de la aplicación de estable colector de la teoría a la ecuación (1) en los barrios de los ceros de la equivalente, en dos dimensiones del sistema (7). Toma la primera a la cero $(0, 0)$$F(f, g)$, recordamos hemos encontrado el Jacobino tiene dos positivos, real de los autovalores en este punto; por lo tanto la hipótesis de la estable colector teorema se cumplen, y que claramente tienen una $\dim E_u = 2$; por lo tanto $\dim W_u = 2$; $\dim E_s = \dim W_s = 0$ en este caso; $E_s$ es el subespacio $\{0\}$ del espacio de la tangente a $\Bbb R^2$ $(0, 0)$y $W_s$ es el punto de $(0, 0)$ sí, un submanifold de dimensión $0$. $W_u$, siendo de dimensión$2$$\Bbb R^2$, es en realidad un conjunto abierto que contiene a $(0, 0)$, y desde $\phi_\eta((f_1, g_1)) \to (0, 0)$ $\eta \to -\infty$ por cada $(f_1, g_1) \in W_u$ donde $\phi_\eta$ es el flujo de $F(f, g)$, vemos que la teoría de la estabilidad de los colectores afirma la anterior afirmación de que existen soluciones de $f(\eta)$ a (1) la satisfacción de $\lim_{\eta \to -\infty}f(\eta) = 0$, y esto por supuesto implica $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ desde $\eta = x - vt$ (y de nuevo, tenemos $t$ fijo). Volviendo ahora el punto crítico de la $(1, 0)$, se encontró en el párrafo anterior que los autovalores de a$DF(1, 0)$$\lambda_\pm = \frac{1}{2}(-v \pm \sqrt{v^2 + 4\alpha^2})$, uno positivo y uno negativo, ya que $v^2 + 4\alpha^2 > v^2$. De nuevo la invocación de la estable colector teorema, podemos ver que $\dim E_s = \dim W_s = 1$ y también que $\dim E_u = \dim W_u = 1$; para cualquier $(f_1, g_1) \in W_s$, $\phi_\eta((f_1, g_1)) \to (1, 0)$ como $\eta \to \infty$, por lo tanto $\phi_x((f_1, g_1)) \to (1, 0)$$x \to \infty$, y así debemos tener $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ para cualquier solución de $f(\eta)$ de (1) tal que $(f(0), f'(0)) = (f_1, g_1) \in W_s$. El uso de la teoría de estabilidad de los colectores, así, hemos rigurosamente demostrada la existencia de las soluciones requeridas en la pregunta publicado. QED.

La discusión anterior se realiza demostraciones de la existencia de soluciones de (1) la satisfacción de $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ como sea necesario, pero no hay (al menos) uno de los restantes, pregunta provocadora sobre el flujo de (1), (7), que, aunque estrictamente hablando no se le preguntó por el OP, no obstante, es digno de un par de comentarios. Hemos visto que hay un uno-dimensional submanifold $W_s(1, 0)$ $\Bbb R^2$ , el estable colector de el punto crítico de la $(1, 0)$, de tal manera que $\phi_\eta((f_1, g_1)) \to (1, 0)$ $\eta \to \infty$ por cada $(f_1, g_1) \in W_s(1, 0)$; la cuestión es que, en términos generales, lo que sucede a $(f_1, g_1) \in W_s(1, 0)$ bajo la acción del flujo de $\phi_\eta$$\eta \to -\infty$? Ya hemos visto también que, para $(f_1, g_1) \in W_u(0, 0)$, la inestable colector asociados con el punto de $(0, 0)$,$\phi_\eta(f_1, g_1) \to (0, 0)$$\eta \to -\infty$, es tentador suponer que $W_s(1, 0)$, de hecho, se reúne $W_u(0, 0)$ en algún momento(s), que de hecho implica que exista una trayectoria de $\gamma(\eta)$$F(f, g)$, que se une a $(0, 0)$ $(1, 0)$ en el sentido de que $\gamma(\eta) \to (0, 0)$$\eta \to -\infty$$\gamma(\eta) \to (1, 0)$$\eta \to \infty$. Si esto fuera cierto, y yo creo que es, entonces razonablemente una imagen completa de las características cualitativas del flujo de $\phi_\eta$ podría ser tenido. Es tentador para mí afirmar, como hace Artem en su respuesta, que las dos dimensiones de $W_u(0, 0)$ es suficiente para garantizar la $W_u(0, 0) \cap W_s(1, 0) \ne \varnothing$, pero en la ausencia de un análisis más a lo que descarta otras posibles fenómenos tales como periódicos órbitas no puedo con la plena confianza de pie detrás de tal afirmación. Pero mi nariz y mi instinto dice es así.

Bueno, yo creo que he escrito bastante; el tiempo de golpear a ese viejo POST botón!

Espero que esto ayude! Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 2

Para facilitar un poco las cosas, considero la ecuación $$u_t=u_{xx}+u(1-u), $$ que se puede obtener a partir del original escalando las variables espaciales y temporales.

Ahora considere $$ u(x,t)=U(z)=U(x\pm ct), $$ donde elijo "más", pero "menos" se trata de manera similar. Tenemos $$ cU'=U(1-U)+U'', $$ que puede reescribirse como el sistema $$ U'=V\\ V'=cV-U(1-U) $$ con dos equilibrios: $O=(0,0)$ y $P=(1,0)$ .

En $O$ la matriz de Jacobi tiene dos valores propios $$ \lambda_{1,2}=\frac 12 (c\pm\sqrt{c^2-4}), $$ que no son complejos si $c\geq 2$ (no podemos tener valores propios complejos, por lo que esto significaría que $U$ cambia de signo). Punto $P$ es una silla de montar para cualquier valor de los parámetros. Este punto tiene un colector estable con la dirección $(-c,1)$ --- se trata de un vector propio correspondiente al valor propio negativo, por lo que apunta al "noroeste" del punto. Esta variedad estable tiene que cruzar la variedad inestable de $O$ ya que esta última es bidimensional, por lo que existe una única trayectoria homoclínica, que conecta $O$ y $P$ y positiva. Esta trayectoria corresponde a la solución de onda viajera del problema original.

Answer 3

Añadido el 31 de octubre de 2013 a las 23:48 PST: Lo siguiente, sin embargo otro respuesta, se añade como tal por las mismas razones expuestas en mi segunda: es demasiado larga para los comentarios, y tras intentar editarla en que y esperar dos horas enteras mientras mathjax intentaba mostrar mi trabajo, recurrí a dividir mi(s) mensaje(s) en respuestas separadas una vez más, aunque de hecho deberían ser consideradas de una pieza como dice el refrán. Y una vez más, pido la indulgencia de mis lectores.

Desde que publiqué mi segunda respuesta, que como expliqué debería considerarse realmente una parte integral de la primera, creo que he encontrado una forma de acercarme sustancialmente a terminar este asunto, en el sentido de demostrar que efectivamente existe una trayectoria heteroclínica $\gamma(\eta)$ tal que $\lim_{\eta \to -\infty}\gamma(\eta) = (0, 0)$ y $\lim_{\eta \to \infty}\gamma(\eta) = (1, 0)$ . La construcción presentada en la discusión anterior, aunque un poco "a mano", pretende demostrar que la necesaria existencia de una órbita heteroclínica puede ser mitigada por la presencia de trayectorias periódicas; si podemos eliminar la posibilidad de que éstas se produzcan, creo que estaremos un paso más cerca de una posición desde la que la existencia de la buscada órbita heteroclínica está al alcance.

Así que aquí mostraremos que el campo vectorial $F(f, g)$ no tiene trayectorias periódicas. Esto puede tratarse con el antiguo método de Bendixson; véase esta entrada de la wikipedia o este libro de Gerald Teschl El séptimo capítulo. (El mismo libro se menciona en mi primera respuesta anterior.) La técnica pertinente es la siguiente: supongamos $V(f, g)$ es cualquier $C^1$ campo vectorial en el $f$ - $g$ avión $\Bbb R^2$ y que $\Omega \subset \Bbb R^2$ sea abierta y simplemente conectada tal que $\nabla \cdot V = \frac{\partial V_f}{\partial f} + \frac{\partial V_g}{\partial g} \ne 0$ en $\Omega$ Entonces $V(f, g)$ no puede tener ninguna órbita periódica en $\Omega$ . Para ver esto, miramos la integral de $\nabla \cdot V$ sobre una región delimitada por dicha trayectoria cerrada, suponiendo que existiera una, y utilizar el teorema de la divergencia de Gauss en su forma bidimensional, así: si $F(f, g)$ tiene una trayectoria periódica $\gamma(\eta)$ en la región simplemente conectada $\Omega$ limita con alguna región abierta simplemente conectada $\Gamma \subset \Omega$ Entonces tenemos, ya que $\nabla \cdot V \ne 0$ en $\Omega$ es o bien positivo o negativo en todo de $\Omega$ Por lo tanto, en todos los $\Gamma$ también. Así,

$\int_\Gamma (\nabla \cdot V) dfdg \ne 0; \tag{1}$

pero por el teorema de Gauss tenemos

$\int_\Gamma (\nabla \cdot V) dfdg = \int_{\gamma(\eta)} (V \cdot n)ds; \tag{2}$

pero

$\int_{\gamma(\eta)} (V \cdot n)ds = 0, \tag{3}$

desde $n$ es la normal que apunta hacia afuera en $\gamma(\eta)$ y $V$ es tangente a $\gamma(\eta)$ por lo tanto $V \cdot n = 0$ . Esta contradicción demuestra que $V(f, g)$ no tiene trayectorias cerradas. Para aplicar estas nociones a $F(f, g)$ , recuerdo de mi primero respuesta que el jacobino de $F(f, g)$ es

$J_F = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha^2(1 - 2 f) & -v \end{bmatrix}, \tag{4}$

por lo que tenemos

$\nabla \cdot F = \text{Tr}(J_F) = -v > 0, \, v \, \text{a constant}, \tag{5}$

que a la luz de lo anterior excluye la posibilidad de la existencia de una trayectoria periódica de $F$ . Aparentemente el mismo argumento excluye la existencia de una órbita homoclínica que une $(1, 0)$ a sí mismo, es decir, de $W_u(1, 0) = W_s(1, 0)$ la integral sobre $\gamma(\eta)$ en tal caso está bien definida excepto en un conjunto de medida cero, que es el punto $(1, 0)$ mismo, donde $W_s(1, 0)$ y $W_u(1, 0)$ se cruzan pero tienen vectores tangentes diferentes (no colineales).

Me parece que en este punto nos quedamos con la siguiente situación: la curva integral $\gamma(\eta)$ tal que $\gamma(\eta) \to (1, 0)$ como $\eta \to \infty$ no puede, como $\eta \to -\infty$ , ya sea en forma de bucle de vuelta a $(1, 0)$ mismo (caso de $\gamma(\eta)$ homoclínica) o acercarse a una órbita periódica, ya que no hay ninguna. Además, no hay ciclo de equilibrios y órbitas heteroclínicas, ya que $(0, 0)$ es un punto puramente de repulsión; ninguna curva integral puede entrar en él como $\eta \to \infty$ . Así que por el Teorema de Poincare-Bendixson nos quedan dos perspectivas: o bien $\gamma(\eta) \to (0, 0)$ como $\eta \to -\infty$ o $\gamma(\eta)$ deja cualquier conjunto compacto en $\Bbb R^2$ . Ahora bien, si pudiera descartar esta última posibilidad

Ah, bueno, ¡feliz Halloween, amigos!

Espero que esto ayude sólo un poco más . Salud,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!

Answer 4

Bueno, ¡creo que no había escrito lo suficiente!

A la luz del extenso debate sobre las nociones que rodean a la teoría de los manifiestos estables, tanto en las respuestas como en los comentarios, deseo añadir algunas observaciones que explican mejor, y espero que aclaren, la situación de su aplicación a los problemas presentados en esta pregunta. Adjunto estos "comentarios" como una respuesta separada, por dos razones: i.) son probablemente demasiado largos para que quepan cómodamente incluso en varias cajas de comentarios; y ii.) insertarlos a través de el proceso de edición en mi respuesta ya publicada tomará un largo, largo debido al tiempo que tarda el sistema mathjax en renderizar posts largos con cantidades sustanciales de Latex. Así que, en lugar de colmar mi paciencia, ruego la indulgencia de mis lectores y continúo con la discusión en esta respuesta separada a la pregunta del OP. Esta respuesta puede y debe, para todos los propósitos prácticos, ser considerada como una pieza con la que he publicado anteriormente.

Dicho esto

Como menciona Slugger en su comentario a mi respuesta anterior, es efectivamente el teorema del múltiple estable el que afirma que los comportamientos límite de $F(f, g)$ y $DF$ son iguales en la vecindad de un punto crítico de $F$ . Sin algún resultado en este sentido, no hay garantía de que el sistema lineal, en el límite, exhiba la misma estructura que la(s) ecuación(es) original(es) no linealizada(s). Una observación clave aquí es que mientras la variable independiente siga siendo finito es decir, sólo nos interesa $\eta$ en algún intervalo acotado $(\eta_{\text{min}}, \eta_{\text{max}})$ con $-\infty < \eta_{\text{min}} < \eta_{\text{max}} < \infty$ Entonces es relativamente sencillo afirmar que las soluciones del sistema linealizado se acercan arbitrariamente a las del original, siempre que se inicialicen así y, de nuevo, la variable dependiente esté acotada. Este es un resultado estándar y algo elemental en la teoría de las EDOs; se puede encontrar una discusión completa, por ejemplo, en el capítulo 17 de Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos e introducción al caos de Morris Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney; para un tratamiento más avanzado, véase Jack K. Hale Ecuaciones diferenciales ordinarias Las citas de estos libros, o cualquiera de los otros textos y referencias estándar. Pero son los casos límite como $\eta \to \pm \infty$ que requieren un enfoque más delicado, y esto es lo que proporciona la teoría de los manifiestos estables.

En cuanto a la existencia de una trayectoria heteroclínica $\gamma(\eta)$ "conectando" los puntos de equilibrio de $F(f, g)$ en el sentido de que $\lim_{\eta \to -\infty} \gamma(\eta) = (0, 0)$ y $\lim_{\eta \to \infty} \gamma(\eta) = (1, 0)$ Los teoremas de los colectores estables sólo proporcionan una pieza del rompecabezas, ya que son esencialmente local en la naturaleza; es decir, sólo dan una imagen detallada de $W_s$ , $W_u$ en algún barrio $U$ del punto crítico al que corresponden. Por supuesto, tales variedades estables e inestables pueden ser globalizadas por la acción de $\phi_\eta$ por ejemplo, si $W_s$ se define en una pequeña vecindad $U$ de un punto crítico, entonces el conjunto

$\bigcup_{\eta \in \Bbb R} \phi_\eta(W_s) = \{(f, g) \in \Bbb R^2 \mid \phi_\eta(f, g) \in W_s \, \, \text{for some} \, \,\eta \in \Bbb R \}, \tag{1}$

consiste en todo puntos en $\Bbb R^2$ que $\phi_\eta$ toma en $W_s$ y, por tanto, finalmente en el punto crítico asociado a $W_s$ como $\eta \to \infty$ . Pero a pesar de que en principio podemos construir globalmente estable e inestable, en el sentido de establecer su existencia, no podemos decir mucho más sobre sus propiedades sin recurrir a un análisis más detallado y refinado del campo vectorial $F(f, g)$ y su flujo $\phi_\eta$ . De hecho, es posible, con un poco de esfuerzo e imaginación, describir un campo vectorial $F_1(f, g)$ en $\Bbb R^2$ que tiene exactamente la misma estructura de punto crítico que $F(f, g)$ e incluso las mismas matrices jacobinas en estos puntos críticos, pero para las que no existe una trayectoria heteroclínica que discurra entre un punto crítico y otro. A saber:

Dejemos que $F_1(f, g)$ tienen puntos críticos en $(0, 0)$ y $(0, 1)$ , al igual que $F(f, g)$ y supongamos que, de hecho, organizamos las cosas de manera que $J_{F_1} = J_F$ en cada uno de estos puntos. Consideremos las dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ de radio $r_1$ y $r_2$ respectivamente, con $0 < r_1 < r_2 < 1$ , ambos centrados en $(0, 0)$ Y además, arreglar las cosas para que $F_1(f, g)$ es de magnitud constante y tangente a cada uno de estos círculos, siendo el sentido de giro el mismo en cada uno de ellos. Dentro de $C_1$ , elija $F_1(f, g)$ diferenciable para que, además de coincidir junto a su jacobeo con $F(f, g)$ y su jacobina en $(0, 0)$ las trayectorias de $F_1(f, g)$ forman espirales, a medida que nos acercamos $C_1$ desde el interior, que convergen en $C_1$ como $\eta \to \infty$ . En la región anulur entre $C_1$ y $C_2$ , elija $F_1(f, g)$ diferenciable, de modo que sus trayectorias se mueven en espiral hacia el interior de $C_2$ y convergen a $C_1$ como $\eta \to \infty$ y a $C_2$ como $\eta \to -\infty$ ; fuera de $C_2$ elija $F_1(f, g)$ para que, cerca de $C_2$ las trayectorias se desplazan en espiral desde $C_2$ y acercamiento $C_2$ como $\eta \to -\infty$ ; además, fuera de $C_2$ arreglamos las cosas para que exactamente una de las órbitas $\gamma(\eta)$ de $F_1(f, g)$ que "se desenvuelven desde", es decir, en espiral hacia fuera de $C_2$ es, de hecho, el colector estable de $(1, 0)$ eso es, $\gamma(\eta) \to (1, 0)$ como $\eta \to \infty$ las otras trayectorias que salen en espiral desde $C_2$ se desvíen y se conviertan en ilimitadas como puedan. Lo que he intentado dar aquí es una descripción verbal, aunque posiblemente burda, del retrato de fase de un sistema $(f', g')^T = F_1(f, g)$ lo que concuerda completamente con $(f', g')^T = F(f, g)$ en lo que respecta a la estructura del punto crítico, pero cuyas trayectorias globales muestran diferencias radicales con las de $(f', g')^T = F(f, g)$ . En particular, hay que observar que (i.) la colector inestable del punto $(0, 0)$ es precisamente el interior del disco de radio $r_1$ centrado en $(0, 0)$ cuyo límite es el círculo $C_1$ y (ii.) no existe una trayectoria heteroclínica de $F_1(f, g)$ conectando $(0, 0)$ y $(1, 0)$ . Esto ilustra el hecho de que, incluso con la ayuda de la teoría de las variedades estables, la evaluación de la estructura global de las órbitas puede ser una tarea ardua, que requiere mucho más trabajo del que presentan las presentes respuestas. Por último, aunque mi descripción informal de $F_1(f, g)$ y su flujo carece en última instancia de rigor, creo que es posible definir analíticamente $F_1(f, g)$ si se tiene el suficiente cuidado, quizás utilizando particiones de la unidad en $\Bbb R^2$ pero, lamentablemente, no tengo ni tiempo ni espacio para presentar tal desarrollo aquí. También es una lástima que no haya puesto ninguna foto, que sin duda vale varios miles de palabras en este contexto, pero por el momento carezco del software gráfico necesario para hacerlo.

Cuando leí la pregunta de nuestro OP Slugger, tomé la frase "soluciones satisfactorias $\lim_{x \to -\infty} f = 0$ y $\lim_{x \to \infty} f = 1$ " para referirse a soluciones separadas de cada tipo, en lugar de soluciones que satisfagan ambas propiedades conjuntamente. Y hemos demostrado que existen; pero la demostración de la existencia de una verdadera curva integral heteroclínica de $(f', g')^T = F(f, g)$ es evidentemente una tarea mucho más ardua, que me hace preguntarme qué nivel de experiencia y conocimientos se supone en la clase para la que este "pequeño ejercicio" es una tarea.

Bueno, ahora intentaré, una vez más, dejar de escribir, al menos por el momento.

Y realmente espero que esto ayude. Una vez más digo: "¡Salud!"

y una vez más, como siempre, digo

¡¡Fiat Lux!!