Es un vector paquete orientable si y sólo si su doble paquete es orientable?

Question

Yo estaba leyendo en mi doble los espacios de hoy y me hizo la siguiente hipótesis:

Un vector paquete de $\xi$ es orientable si y sólo si $\xi^*$ es orientable.

Esto parece bastante intuitivo, y aunque no parece demasiado difícil de probar, no estoy seguro de cómo formalmente probarlo. Alguna ayuda?

EDIT: También, supongo que otra afirmación de que iba a caer a lo largo de estas líneas sería si se cumple lo siguiente:

Si la orden de bases $v_1,...,v_n$ $v'_1,...,v'_n$ $V$ son igualmente orientado, a continuación, el mismo es cierto de las bases de la $v^*_1,...,v^*_n$$v^{'*}_1,...,v^{'*}_n$$V^*$.

Alguien me puede ayudar en las pruebas (si es cierto)?

Answer 1

Alternativamente, podemos hacer dos observaciones:

• Un paquete de $E$ de la dimensión de $n$ es orientable iff $\Lambda^n E$ es trivial.

• Si denotamos $F^*$ el paquete doble para una vctor bundle $F$, entonces no es un isomorfismo $\Lambda^n(E^*)\to(\Lambda^nE)^*$.

Answer 2

Si $\xi$ es un verdadero vector de paquete, a continuación, $\xi$ $\xi^*$ realidad siempre ser isomorfo; siempre se puede poner una métrica en un paquete, que le da un isomorfismo entre el$\xi$$\xi^*$. El caso complejo se deduce del hecho de que todos los vectorial complejo paquetes son orientables.

EDIT: para poner una métrica en $\xi$ requiere la base de un espacio para ser paracompact (por ejemplo, un colector).

EDIT 2: Otra forma de ver esto es a través de la transición de las funciones. $\xi$ es orientable significa que usted puede reducir la estructura del grupo a $GL_n^+$, el grupo de matrices con determinante positivo. Desde la transición de las funciones de $\xi^*$ será dada por el conjugado inversa y desde $A \in GL_n^+$ si y sólo si $A^{-t} \in GL_n^+$, se deduce que el $\xi$ es orientable si y sólo si $\xi^*$ es.