Bonito problema Que es más grande $e^a$ $a^3$

Question

deje $$a=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{3}\right)^n}{(n+1)!}$$

Mi Pregunta:

Que es más grande $e^a$ $a^3$

Supongo

$$e^a=a^3$$

pero yo no puedo probarlo,y creo que este es buen problema.Gracias evryone

Este problema a partir de este http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3577&extra=&page=1

Answer 1

Podemos "evitar" el Lambert $W$ función saltando directamente a su serie de la representación. Vamos a llamar a los de Lagrange de la inversión de la fórmula, que se puede encontrar en mi respuesta aquí.

Supongamos que estamos buscando para los más pequeños positivo de la raíz de la ecuación $e^x = x^3$, que es también el más positivo de la raíz de la ecuación

$$ \frac{x}{e^{x/3}} = 1. $$

Vamos a llamar a esta raíz $a$. El Lagrange de la inversión de la fórmula de los rendimientos de la serie deseada de la representación,

$$ \begin{align} a &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left\{\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1} e^{nx/3} \right\}_{x=0} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left\{\left(\frac{n}{3}\right)^{n-1} e^{nx/3} \right\}_{x=0} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(\frac{n}{3}\right)^{n-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}. \end{align} $$

Answer 2

La solución a $e^a=a^3$ está dado por la función W de Lambert:

$a=-3 \text{W} \left( - \frac{1}{3} \right)$

Ahora, echa un vistazo a la suma de definición de la función W de Lambert. Si usted cambia sus límites, de modo que comiencen a $n=1$ en lugar de $n=0$, entonces es fácil ver que su suma es igual al valor de $a$ dado anteriormente.

Answer 3

bueno, si e^a y^3 son graficados los resultados son a=1.857 y=4.5364 lim un=>-inf e^a es 0 y lim un=>-inf^3 es -inf lim un=>inf e^a/^3 lim un=>inf e^a/3a^2 lim un=>inf e^a/6a lim a>inf e^a/6 es inf por la regla de L'hospital así que e^a será mayor que la de una^3 en el intervalo (-inf,1.857)u(4.53864,inf)