Voy a mostrar que los siguientes son equivalentes:
Definir $v(t) = \sum_k v_k t^k$. Voy a mostrar los siguientes son equivalentes.
(1) Una de las raíces de $v(t)$ es una raíz de la unidad.
(2) Hay una solución distinto de cero $w_k$ donde $w_k$ permanecen acotados como $k \a \pm \infty$.
(3) No es una solución distinto de cero $w_k$ donde todos los $w_k$ están en $\{ -1, 0, 1 \}$.
Yo también muestran que los siguientes son equivalentes.
(4) Una de las raíces de $v(t)$ es un $2^j$-ésima raíz de la unidad, por unos $j$.
(5) El polinomio $v(t)$ es divisible por $1-t$ o por $1+t^{2^{j-1}}$, $j$.
(6) El polinomio $v(t)$ es divisible por un polinomio de la forma $1-t^m$ o $1+t^m$.
(7) es una solución de $w_k$ donde todos los $w_k$ $\pm 1$.
Obviamente, la parte inferior cuatro son más restrictivos que los tres primeros.
Para desprender los fáciles, claramente $(7) \implica (3) \implica (2)$ y $(4) \implica (1)$. También, $(4)$ y $(5)$ son fácilmente equivalente: yo soy solo el listado de cyclotomic polinomios de $2^j$-th raíces de la unidad. Obviamente, $(5) \implica (6)$. A la inversa implicación $(6) \implica (5)$ es casi tan fácil: $1-t^n$ es divisible por $1-t$, y, si $n = 2^j (2k+1)$, entonces $1+t^{2^j}$ divide a $1+t^n$.
También es fácil ver que $(6) \implica (7)$: Si $1-t^n$ divide a $v(t)$ tomar $w_k$ con $w_{k+n} = w_k$; si $1+t^n$ divide a $v(t)$ tomar $w_k$ con $w_k=-w_{k+n}$.
El resto de argumentos, que será más difícil, mostrar $(1) \Longleftrightarrow (2)$, $(1) \implica (3)$ y $(7) \implica (4)$.
En primer lugar, discutir la prueba de $(1) \Longleftrightarrow (2)$, como se establece en el contexto de todas las demás:
Fijo $v$, la relación $\sum_j v_{j} w_{k+j}=0$ da una recurrencia lineal para el $w_i$. Las soluciones generales para esta recurrencia son de la forma
$$w_k = \sum p_i(k) \alpha_i^k \quad (\ast)$$
donde $p_i$ son polinomios y el $\alpha_i$ son las raíces de $v(t^{-1})$.
Supongamos que existe una limitada distinto de cero expresión de la forma $(\ast)$. Ya que debe permanecer delimitada como $k \to \infty$ y $k \ - \infty$, podemos deducir que todos los $\alpha_i$ han norma $1$. Pero el principio y el final de los coeficientes de $v(t)$ es $\pm 1$ y todos los coeficientes de $v(t)$ son números enteros, por lo que el $\alpha_i$ son las raíces de la unidad (leer los comentarios en los enlaces de respuesta). Por el contrario, si $\alpha$ es una raíz de la unidad y de la raíz de $v(t^{-1})$, entonces $w_k = \alpha^{-k}$ es un almacén de solución a la recurrencia. Esto establece la equivalencia de los dos primeros puntos.
Ahora nos muestran $(7) \implica (1)$. De nuestra discusión en $(1) \Longleftrightarrow (2)$, cualquiera limitada solución debe ser de la forma
$$w_k = \sum c_r \alpha_r^k$$
por $\alpha_r$ varias raíces de la unidad, que son los ceros de $v(t)$.
Suponemos que todo el $c_r$ son cero (de lo contrario, descartar la correspondiente $\alpha_r$ de la lista).
Deja $$ N ser el MCM de los pedidos de los $\alpha_r$, entonces $w_k$ periodo $N$.
Vamos a $N=2^k (2m+1)$.
Supongamos, por el bien de la contradicción, de que ninguno de los $\alpha_r$ $\alpha_r^{2^k}=1$.
Conjunto $\beta_r=\alpha_r^{2^k}$, entonces $\beta_r$ es un $(2m+1)$-ésima raíz de la unidad que no es $1$.
Note que $\sum_{j=0}^{2m} w_{2^k j}$ es una suma de $2m+1$ de números que son $\pm 1$, por lo que es distinto de cero.
Por otro lado,
$$\sum_{j=0}^{2m} w_{2^k j} = \sum_{j=0}^{2m} \sum_r c_r \sum_{j=0}^{2m} (\alpha_r^{2^k})^j = \sum_{j=0}^{2m} \sum_r c_r \beta_r^j = \sum_{j=0}^{2m} \sum_r c_r \frac{\beta_r^{2m+1}-1}{\beta_r-1} = 0$$
donde la última igualdad es porque $\beta_r$ es un $(2m+1)$-ésima raíz de la unidad que no es $1$.
La última, la más dura y, con el argumento de que $(1) \implica (3)$. No es estrictamente necesario para responder a su pregunta, pero estoy orgulloso de ello.
Deje que $\alpha$, un primitivo $$n-ésima raíz de la unidad, la raíz de $v(t^{-1})$. Dado que los coeficientes de $v(t)$ son números enteros, y el $$n-ésimo cyclotomic polinomio es irreducible, todos los de la primitiva $$n-ésimo raíces de la unidad son las raíces de $v(t)$. Vamos a encontrar una secuencia de $w_k$, de modo que la totalidad de los $w_k \en \{ -1, 0, 1 \}$ y $w_k$ puede ser escrito como
$$w_k = \sum_{i,\ GCD(r,n)=1} c_r \alpha^{rk} \quad (\daga)$$
para algunas constantes de $c_r$.
Definir el polinomio
$$f(t) = \prod_{p | n} (1-t^{n/p})$$
donde el producto es más números primos dividiendo $n$.
Lema Cada coeficiente de $f$ es $\pm 1$, y todos los exponentes de $f$ son distintos modulo $n$.
Prueba Dejar $r$ ser el número de los distintos números primos dividiendo $n$. Pretendemos que todos los $2^n$ exponentes que ocurren en el producto son distintos modulo $n$. Supongamos que al contrario que $P$ y $Q$ son dos diferentes conjuntos de números primos dividiendo $n$ que
$$\sum_{p \P} \frac{n}{p} \equiv \sum_{p \Q} \frac{n}{p} \bmod n. \quad (\mathbb{S})$$
Desde $P \neq Q$, podemos asumir que hay algo de $p$ en $P$ y no en $Q$ (o viceversa). Deje que $p^e$ se precisa de la energía de $p$ dividiendo $n$. A continuación, la reducción de $(\mathbb{S})$ modulo $p^e$ da
$$p^{e-1} + 0 + \cdots + 0 \equiv 0+ \cdots + 0 \bmod p^{e-1}$$
un absurdo. $\square$
Deje que $g(t)=\sum_{k=0}^{n-1} g_k t^k$ ser el polinomio formado a partir de $f(t)$ mediante la reducción de los exponentes de $f(t)$ modulo $n$ a estar entre $0$ y $n-1$, mientras que el mantenimiento de los coeficientes de la misma. Deje de $w_k$ ser la secuencia formada por la repetición de los coeficientes de $g(t)$ periódicamente modulo $n$. Por lo que $w_k \en \{ -1, 0, 1 \}$, y debemos comprobar que $w_k$ puede ser escrita en la forma $(\daga)$.
Así tenemos
$$g_k = \sum_r c_r \alpha^{rk}$$
donde $c_r$ está dada por la transformada de Fourier discreta
$$c_r = \frac{1}{n} \sum g_k \alpha^{rk}.$$
Si $r$ NO es primo relativo a $n$, entonces $\sum g_k \alpha^{rk} = g(\alpha^{-r}) = f(\alpha^{-r})=0$. Así que el único distinto de cero los coeficientes de Fourier son los con $MCD(r,n)=1$, y $w_k$ es de la forma $(\daga)$, como se desee.
