La evaluación de un complejo integral

Question

Aquí es la integral estoy tratando con:

$$\int_{|z|=1}\frac{z^{11}}{12z^{12}-4z^9+2z^6-4z^3+1}dz$$

Me han aconsejado para hacer el cambio de variable $w=\frac{1}{z}$ que creo que los resultados en:

$$\int_{|w|=1}\frac{-1}{w^{13}-4w^{10}+2z^7-4w^4+12w}dw$$

Ahora, Rouch del Teorema nos dice que el denominador (de la $w$ integral) tiene una raíz en el interior de la unidad de disco (a la derecha?) por lo $w=0$ es el único polo que debemos considerar ?

Es este enfoque válido? ¿Sólo tengo que calcular un residuo ahora?

Existen enfoques alternativos que podrían funcionar mejor, tal vez que no impliquen un cambio de variables?

Answer 1

Su integral es por un factor de $-1$, puesto que la variable cambio de $z$ ${1 \over z}$invierte la orientación del círculo. Así que lo que necesitas es $$\int_{|w| = 1} {1 \over w(w^{12} - 4w^9 + 2w^6 -4w^3 + 12)}\,dw$$ Usted podría utilizar Rouch, pero usted no tiene que: Si $|w| \leq 1$ $$|w^{12} - 4w^9 + 2w^6 -4w^3| \leq |w|^{12} + 4|w|^9 + 2|w|^6 + 4|w|^3$$ $$\leq 1 + 4 + 2 + 4 = 11$$ $$< 12$$ Por lo que el factor de $w^{12} - 4w^9 + 2w^6 -4w^3 + 12$ nunca es cero. Como resultado el integrando sólo tiene un polo en $w = 0$ y se puede usar el teorema de los residuos para ese polo para obtener el valor de la integral. El residuo es ${\displaystyle{1 \over w^{12} - 4w^9 + 2w^6 -4w^3 + 12}}$ evaluado en ${\displaystyle w = 0}$ o ${\displaystyle{1 \over 12}}$, y el general integral es ${\displaystyle 2\pi i * {1 \over 12} = {\pi i \over 6}}$.