Ortonormales base de $\{(x_1, \dots, x_n) \mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}$

Question

¿Cómo podemos encontrar la base ortonormales de $\{(x_1,\dots,x_n) \in \Bbb R^n \mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}$?

Es fácil encontrar una base, pero el uso de Gram-Schmidt procedimiento parece difícil obtener una ortonormales.

Answer 1

Usted necesita encontrar un ortonormales (sub-)base de $n-1$ elementos en ${\Bbb R}^n$ que es ortogonal a $v=(1,1,\ldots,1)$. Creo que no es una buena elección canónica. Aquí está una manera simple, sin embargo: \begin{align} u_1 &= \left( \begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{de la matriz} \right)\\ u_2 &=\left( \begin{matrix}1 & 1 & -2 & 0 & \ldots & 0 \end{de la matriz}\right) \\ u_3 &=\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & -3 & \ldots & 0 \end{de la matriz}\right) \\ & ...\\ u_{n-1} &= \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & -(n-1) \end{de la matriz}\right) \\ \end{align} Ellos son pares ortogonal y ortogonal a $v$ y sólo hay que normalizar.