Polinomios ciclotómicos y grupo de Galois

Question

Dejemos que $\zeta\in \mathbb C$ sea una primitiva $7^{th}$ raíz de la unidad.

Demuestre que existe un $\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q)$ tal que $\sigma(\zeta)=\zeta^3$ .

Ya sé que $\zeta$ es una raíz de $f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ y que $f$ es irreducible (aplicando el criterio de Eisenstein sobre $f(x+1)$ ).

También los poderes de $\zeta$ también son raíces de $f$ . Así que $\mathbb Q(\zeta)$ es un campo de división de $f$ . Ahora está claro que esta extensión es una extensión de Galois, ya que todas las raíces son diferentes. Pero, ¿cómo demostrar la afirmación deseada?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\langle \zeta\rangle$ es un grupo cíclico finito de orden $7$ por lo que todo elemento no trivial tiene orden $7$ . En particular $\zeta^3$ es otra primitiva $7^{th}$ raíz de $1$ por lo que es otra raíz del polinomio irreducible $\Phi_7(x)={x^7-1\over x-1}$ . Pero como esto es irreducible por el criterio de Eisenstein aplicado a $\Phi(x+1)$ , obtenemos que

$$\Bbb Q(\zeta)/\Bbb Q\cong \Bbb Q[x]/(\Phi_7(x)).$$

Ahora usamos el hecho de que el grupo de Galois permuta transitivamente las raíces del polinomio irreducible en el cociente -si no has visto esto antes, mira mi adenda en la parte inferior- por lo tanto para dos raíces cualesquiera, $r,s$ Hay un poco de $\sigma=\sigma_{r,s}$ tal que $\sigma(r)=s$ . Tomando $r=\zeta$ y $s=\zeta^3$ obtenemos el resultado.

Las observaciones clave para esto son:

• que ambos $\zeta$ y $\zeta^3$ son raíces del mismo polinomio irreducible

• que el grupo de Galois permuta las raíces de tales polinomios transitivamente .

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Si no has visto la prueba de la acción transitiva sobre las raíces, es relativamente sencilla: como $\Phi_7(x)$ es irreducible, observamos que si $r,s$ son dos raíces cualesquiera

$$\Bbb Q(r)/\Bbb Q\cong \Bbb Q[x]/(\Phi_7(x))\cong \Bbb Q(s)/\Bbb Q\qquad (*)$$

Entonces el automorfismo de $\Bbb Q(r)/\Bbb Q$ es simplemente el compuesto de los isomorfismos. Es decir, si los isomorfismos en $(*)$ son

$$\begin{cases}\varphi_r: \Bbb Q(r)\to \Bbb Q[x]/(\Phi_7(x)) \\ \varphi_s: \Bbb Q(s)\to \Bbb Q[x]/(\Phi_7(x)) \end{cases}$$

entonces tenemos que $\sigma_{r,s}=\varphi_s\circ \varphi_r^{-1}: \Bbb Q(s)\to \Bbb Q(r)$ es un isomorfismo, pero como $\Bbb Q(r)=\Bbb Q(s)$ es en realidad un igualdad para $r=\zeta, s=\zeta^3$ cuando los tratamos como subcampos de $\Bbb C$ vemos que podemos sustituir "iso" por "auto", y aplicar la definición del grupo de Galois como el grupo de todo automorfismos del campo.