Hay un segundo orden de la frase que es válido en el estándar de la semántica pero no es válido en la semántica de Henkin?

Question

Deje $\Sigma^\mathrm{ST}$ ser un conjunto de oraciones que es válido en el estándar de la semántica y de la $\Sigma^\mathrm{Henk}$ ser un conjunto de oraciones que es válido en la semántica de Henkin. Desde $\Sigma^\mathrm{Henk}\subseteq \Sigma^\mathrm{ST}$ $\Sigma^\mathrm{Henk}$ es r.e., pero $\Sigma^\mathrm{ST}$ no es r.e. así que hay una sentencia de $\sigma$ que es válido en el estándar de la semántica pero no es válido en la semántica de Henkin.

Sin embargo, hay un ejemplo concreto de esa frase? Creo que un análogo de Reemplazo $$ \forall X\forall f \existe Y \forall x : Y(x)\leftrightarrow X(f(x)) $$ (donde $X$ $Y$ son unarios símbolo de predicado y $f$ es un unario símbolo de función) es una pena, pero no sé cómo demostrarlo. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Para un caso muy simple de una frase que es válido en el estándar de la semántica y no en la semántica de Henkin (entendido en el sentido amplio), se toma la frase

$$\exists X\forall x(Xx \equiv x \neq x)$$

el que dice que hay un vacío de la propiedad. Que es válida en el estándar de la semántica (desde el cuantificador $X$ más singulares propiedades siempre pertenecientes a todos los posibles subconjuntos de a $D$ donde $D$ es el dominio de primer orden cuantificador -- que siempre incluye el subconjunto vacío). Pero no es cierto en todos los Henkin modelo [ya que en Henkin modelos, el dominio de los de segundo orden cuantificador no está limitado a incluye todos los posibles subconjunto del dominio si el primer orden de cuantificador.]

Lo que demuestra que no todas las instancias de la comprensión del esquema de retenciones en Henkin modelos (entendido en el sentido amplio), aunque por supuesto no en su totalidad o modelos estándar.

[El estándar de trabajo sobre estos asuntos Stewart Shapiro del Fundaciones sin Fundacionalismo: Un Caso de Segundo Orden de la Lógica. Una rápida verificación confirma que su pregunta inicial es, en realidad, respondió en la p. 89.]

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Supongamos sin embargo, para el seguimiento de Carl Mummert de la observación, nos limitamos a los llamados fieles Henkin modelos (modelos que no falsificar cualquier instancia de la costumbre de segundo orden de la comprensión del esquema o falsificar elección). De hecho, hablar de Henkin modelos, a menudo sólo significa que dichos fieles modelos. Entonces, podemos refinar la pregunta original: ¿qué es un ejemplo de una de segundo orden de la frase es válida en el pleno de la semántica, pero no en verdad en todos los fieles Henkin modelos?

Bien, una fantasía, pero muy lindo ejemplo, suponiendo que la hipótesis continua es cierto, es la segunda orden de la frase en la que se formula la hipótesis continua que sale en el estándar de la semántica, pero que puede fallar en fieles Henkin modelos.

De una forma menos exótico, pero tal vez más accesible ejemplo, véase Carl Mummert muy útil respuesta.

[De nuevo, una comprobación rápida para confirmar mi cada vez más falible memoria muestra de que debe haber conseguido que a partir de Shapiro, p. 105. ]

Answer 2

Deje $P_2$ ser la conjunción de lo finito conjunto de postulados de Peano de segundo orden de la aritmética. Estos tienen un solo modelo, que es el modelo estándar de segundo orden de la aritmética.

Sabemos, a partir de los teoremas de incompletitud de que, no importa lo coherente, eficaz extensión de $X$ $P_2$ consideramos, habrá alguna frase $\phi_X$, en el lenguaje de la aritmética que es verdadera en el modelo estándar, pero no es demostrable en $X$.

En particular, podemos dejar que $X$ incluyen la completa deductivo sistema de segundo orden de la lógica, a la plena comprensión del esquema de segundo orden de la aritmética, y la de todo el plan para el axioma de elección de segundo orden de la aritmética, y cualquier otro eficaces esquemas de axiomas que nos gusta.

Mientras nos mantenemos $X$ coherente y eficaz, $P_2 \to \phi_X$ será verdadera, y por lo tanto válido en su totalidad semántica, sino $P_2 \to \phi_X$ no será válida en la semántica de Henkin. Porque nosotros se lo permitimos $X$ incluir todo el aparato deductivo de segundo orden, la lógica y la comprensión y la elección de los esquemas, que no tiene que preocuparse acerca de Henkin modelos de $X$ que no cumplan con estos planes.

Esto sugiere la forma correcta de visualizar la diferencia entre el total y la semántica de Henkin: semántica completa, en muchos casos, son sólo otra manera de hablar acerca de la verdad en un canónica "estándar" del modelo, mientras que la semántica de Henkin corresponden a provability lugar.

Como un ejemplo de cómo de fuerte es $X$ podría ser, podría incluir todo el conjunto de las sentencias de segundo orden de la aritmética que se puede demostrar en ZFC (este es un r.e. conjunto de oraciones, por lo que se hace efectiva axioma esquema). A continuación, $\phi_X$ será una verdadera sentencia de segundo orden de la aritmética, por lo $P_2 \to \phi_X$ es válido en su totalidad semántica, sino $\phi_X$ (y también a $P_2 \to \phi_X$) seguirá siendo improbable, incluso si se supone, como un axioma toda sentencia de segundo orden de la aritmética que es demostrable en ZFC.

En el párrafo anterior, podríamos sustituir ZFC con cualquier suficientemente fuerte, coherente, eficaz de la teoría de la $X$. Todavía habrá una sentencia de $P_2 \to \phi_X$ de la aritmética de segundo orden que es válido (en la semántica completa) pero no es demostrable en $X$. De esta manera, los de segundo orden lógico de validez (en el lenguaje de la aritmética de segundo orden con semántica completa) no puede ser capturada en una teoría en absoluto. En contraste, la lógica de la validez en el lenguaje de primer orden de la aritmética de primer orden con semántica puede ser capturado por los efectivos de la teoría de la $V$ que sólo enumera todos los lógicamente válido frases (lo que significa la demostrable de sentencias, en estos semántica). Pero $V$ es derivable incluso desde el vacío conjunto de axiomas, por lo que en este sentido todos los efectivos de la teoría de la captura de primer orden lógico de validez.