Sí, la definición probablemente se ve "como" definiciones de libre de objetos encontrados. La razón es, en esencia, que este autor es la definición de los espacios vectoriales esencialmente como libre de objetos sin decirlo. Y la razón de que el autor puede hacer esto es que, como resulta que, cada espacio vectorial es un servicio gratuito de objeto en la categoría de espacios vectoriales (por lo menos, cada finito dimensional espacio vectorial es; la declaración de que todo espacio vectorial es un servicio gratuito de objeto, que es que todo espacio vectorial tiene una base, es equivalente al Axioma de Elección).
Vamos a considerar un espacio vectorial usted está probablemente muy familiarizado con: $\mathbb{R}^2$; generalmente pensamos en este espacio vectorial como "dadas" por una colección de objetos denominados vectores, que son todas las cosas de la forma$(x,y)$$x,y\in\mathbb{R}$. A continuación, definimos una suma de vectores por $(x,y)+(z,w) = (x+y,z+w)$ (donde la suma de la derecha es la suma de los números reales), un producto escalar dado por $\lambda(x,y) = (\lambda x,\lambda y)$, y demostrar que satisface los axiomas, etc.
Cómo es esta manera de pensar acerca de la $\mathbb{R}^2$ relacionado con la definición dada por el autor? Bien, una forma sencilla de verlo es pensar que un elemento de $\mathbb{R}^2$ es un par ordenado de reales. Pero un par ordenado es "esencialmente" la misma cosa como una función de $\{1,2\}\to\mathbb{R}$. ¿Cómo es eso? Así, el par $(x,y)$ corresponde a la función $1\mapsto x,\ 2\mapsto y$, debido a que la primera entrada es $x$ y la segunda entrada es $y$. A la inversa, dada una función de $f\colon\{1,2\}\to\mathbb{R}$, la función determina de forma única un par ordenado por la regla de $f\mapsto (f(1),f(2))$. Así que en lugar de pensar de los elementos de $\mathbb{R}^2$ como pares ordenados, podemos pensar en ellas como funciones con dominio de $\{1,2\}$. Voy a escribir una función $f\colon\{1,2\}\to \mathbb{R}$ $\mathbf{f}$ cuando quiero pensar en él como un vector.
Si pensamos en los elementos de $\mathbb{R}^2$, ¿cómo las operaciones se traducen en "operaciones de funciones"? Bueno, si $\mathbf{f}$ $\mathbf{g}$ son funciones de$\{1,2\}$$\mathbb{R}$, lo que debe $\mathbf{f}+\mathbf{g}$? Desde $\mathbf{f}$ corresponde a $(f(1),f(2))$ $\mathbf{g}$ corresponde a $(g(1),g(2))$, $\mathbf{f}+\mathbf{g}$ debe corresponder a $(f(1),f(2))+(g(1),g(2)) = (f(1)+g(1),f(2)+g(2))$. La función cuyo valor en $1$ $f(1)+g(1)$ y cuyo valor en $2$ $f(2)+g(2)$ es lo que solemos llamar la "suma" de $\mathbf{f}$$\mathbf{g}$, lo $\mathbf{f}+\mathbf{g}$ corresponde a la "pointwise suma" de $f$$g$: para encontrar el valor de $\mathbf{f}+\mathbf{g}$$i$, queremos encontrar el valor de $f$ y el valor de $g$ y agregarlos. Del mismo modo, $\alpha\mathbf{f}$ debe tener el valor de $\alpha f(1)$$1$$\alpha f(2)$$2$; es decir, el "pointwise producto escalar". Así, en una forma muy natural, se puede pensar de $\mathbb{R}^2$ como "el conjunto de todas las funciones $f\colon{1,2}\to\mathbb{R}$" en lugar de como "el conjunto de todos los pares ordenados $(x,y)$$x,y\in\mathbb{R}$."
Debe ser bastante fácil ver que se puede hacer lo mismo con $\mathbb{R}^n$, el uso de las funciones de $f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\mathbb{R}$ a representar a $n$-tuplas (de hecho, que es el conjunto de la teoría de la definición de una $n$-tupla!). Una función de $f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\mathbb{R}$ corresponde a la $n$-tupla $(f(1),f(2),\ldots,f(n))$.
Por supuesto, esto le da la "obvia" cosa para hacer con $\mathbb{R}^n$. ¿Qué otros espacios vectoriales, como, por ejemplo, $\mathbf{P}_n[x]$, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado en la mayoría de las $n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$?
La clave para lidiar con estos espacios vectoriales es el hecho de que ellos tienen bases. Fijar una base $\beta$ $\mathbf{P}_n[x]$ (o más en general, para $\mathbf{V}$). Si $\beta=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ (suponiendo finito dimensionalidad por ahora), entonces cada vector $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$ puede escribirse de forma única como combinación lineal de los elementos de $\beta$:
$$\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n.$$
Por lo tanto, si estamos de acuerdo en $\beta$, entonces podemos describir cualquier vector en $\mathbf{V}$ mediante la especificación de los coeficientes de la combinación lineal; este es el "vector de coordenadas" en relación con el $\beta$; es decir, si $\mathbf{v}$ pasa a ser la combinación lineal se mencionó anteriormente, entonces el vector coordenado de $\mathbf{v}$ con respecto al $\beta$$[\mathbf{v}]_{\beta}$, con
$$[\mathbf{v}]_{\beta} = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n).$$
Y así, dado $\beta$, no es una forma natural para definir un bijection $\mathbf{V}\leftrightarrow \mathbb{R}^n$, y, por tanto, el pensamiento de $\mathbf{V}$ como un "conjunto de funciones". Pero en el fin de mantener un seguimiento de $\beta$, y asegurarse de que estamos hablando de la misma base, se hace un poco más de sentido en este caso para hacer los vectores de $\mathbf{V}$ corresponden a las funciones con dominio de $\beta$ en lugar de $\{1,2,\ldots,n\}$. es decir, podemos hacer $\mathbf{v}$ corresponden a la función de $f_{\mathbf{v}}\colon\beta\to \mathbb{R}$$f_{\mathbf{v}}(\mathbf{v}_i) = \alpha_i$, el coeficiente de $\mathbf{v}_i$ en la combinación lineal que exprese $\mathbf{v}$ en términos de $\beta$. Por lo tanto, de una manera muy natural, podemos pensar en los elementos de $\mathbf{V}$ "funciones de$\beta$$\mathbb{R}$"; resulta pointwise la suma y la multiplicación escalar corresponde a la adición de vectores y vectores producto escalar en $\mathbf{V}$, de modo que todo funciona.
Podemos hacer esto de mayoreo? Sí: fijar un conjunto $X$, y considerar todas las funciones $f\colon X\to\mathbb{R}$ con pointwise adición y pointwise la multiplicación. Luego de obtener un espacio vectorial; y usted puede darse cuenta de todos los vectores del espacio como isomorfo a uno de estos espacios vectoriales mediante la selección de una base y haciendo las cosas que hicimos anteriormente. Diferentes bases de rendimiento diferentes "realizaciones" del espacio vectorial (si $\beta\neq\gamma$ como conjuntos, entonces el pensamiento de $\mathbf{V}$ "todas las funciones $\beta\to\mathbb{R}$" hace que sea un objeto diferente que si pensamos en $\mathbf{V}$ "todas las funciones $\gamma\to\mathbb{R}$"); sino que va a ser isomorfo como espacios vectoriales: una natural bijection entre ellas, que es lineal, así que hay una manera de "traducir" de uno a otro.
La razón de todo esto funciona es que cada finito dimensional espacio vectorial es un libre de objetos en la categoría de finito dimensionales (real) espacios vectoriales. (Voy a hablar un poco acerca de infinitas dimensiones más adelante). Tome la categoría de finito dimensionales real de espacios vectoriales, y deje $S$ ser un conjunto. Un "vector libre del espacio en $S$" es un (finito dimensionales real) espacio vectorial $\mathbf{V}$, junto con un conjunto teórico de la función de $i\colon S\to \mathbf{V}$ tal que para cualquier (finito dimensionales real) espacios vectoriales $\mathbf{W}$ y el conjunto de la teoría de la función de $j\colon S\to\mathbf{W}$, no existe una única transformación lineal $T\colon \mathbf{V}\to\mathbf{W}$ tal que $j = T\circ i$. Un espacio vectorial $\mathbf{V}$ es "libre" si existe un conjunto $S$ tal que $\mathbf{V}$"$S$".
Desde una transformación lineal está totalmente determinado por la imagen de una base, y una selección de imágenes de una base define un (único) transformación lineal, si dejas $\beta$ ser una base para $\mathbf{V}$, y dejas $i\colon\beta\to\mathbf{V}$ ser la inclusión natural, entonces esto le da un libre objeto: dado cualquier $\mathbf{W}$ y cualquier $j\colon\beta\to\mathbf{W}$, no hay una única lineal $T\colon\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ que 'extiende' $j$; es decir, tal que $j = T\circ i$. Por lo $\mathbf{V}$ es gratis, porque es libre en cualquiera de sus bases. Y ya que dos conjuntos son "isomorfo" en la categoría de $\mathcal{S}et$ si y sólo si, se bijectable, y libre de objetos son únicos hasta un único isomorfismo, luego de dos vectores en los espacios con las bases del mismo tamaño "isomorfo a único isomorfismo" que identifica las bases.
El problema aquí es que para pensar en un espacio vectorial como "libre", que realmente necesita para pensar acerca de la base así. Es decir, es realmente "de espacio vectorial-junto-con-un-específicos-base" que te da gratis un objeto, y no el espacio vectorial en sí mismo. Elige una base diferente, se obtiene una diferente (aunque isomorfo) libre de objetos.
Va a infinito dimensional espacios vectoriales presenta un poco más de problemas; dado un infinito base $\beta$, no es más cierto que cada función $f\colon\beta\to\mathbb{R}$ representa un vector (a pesar de que cada vector corresponde a una función), debido a que las combinaciones lineales debe ser finito; sólo obtenemos las funciones con el "finito" (sólo un número finito de valores distintos de cero). Usted puede restringir el mismo a no, y entonces funcionan las cosas en general bien, con algunas salvedades (por ejemplo, una transformación lineal $\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ es todavía completamente y se determina únicamente por un arbitrario de la función $f\colon\beta\to\mathbf{W}$ donde $\mathbf{W}$ es una base para $\mathbf{V}$; esta función no necesita tener finito de apoyo).
Lo que usted está viendo con esta definición, sin embargo, es realmente la representatividad de los espacios vectoriales como Hom-conjuntos. Dado un fijo de espacio vectorial $\mathbf{W}$, para cualquier espacio vectorial $\mathbf{V}$ puede considerar que el conjunto de "homomorphisms" de $\mathbf{V}$$\mathbf{W}$; este es el set $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ de transformaciones lineales de$\mathbf{V}$$\mathbf{W}$. Usted es probablemente consciente de que este conjunto es en realidad un espacio vectorial en sí mismo con pointwise la suma y la multiplicación escalar, y que tiene dimensión $\dim(\mathbf{V})\dim(\mathbf{W})$. Si establece $\mathbf{W}=\mathbb{R}$ (pensado como un espacio vectorial), a continuación, $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbb{R})$ es isomorfo a $\mathbf{V}$, debido a que tiene la misma dimensión (este espacio vectorial se llama el doble de $\mathbf{V}$). Y, por supuesto, $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbb{R})$ es, naturalmente, bijectable con la colección de todo el conjunto de la teoría de funciones de $\beta\to\mathbb{R}$ donde $\beta$ es un fijo de base para $\mathbb{R}$. Para el autor es una especie de mirar en el dual espacios en lugar de mirar los espacios; esto conduce a algunas dificultades en la definición de las transformaciones lineales, ya que pasar a la doble es contravariante, como Qiaochu puntos.
