Es cada ruta de acceso conectado a abrir subconjunto de $\mathbb{R}^2$ homeomórficos a $\mathbb{R}^2$?

Question

Se trata de un estándar resultado de que la bola abierta $$B^2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\}$$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^2$ sí. También, distorsionando $B^2$ por cualquier continua bijective también la transformación darle una ruta conectada conjunto abierto homeomórficos a $\mathbb{R^2}$. Así que, me preguntaba lo siguiente:

Pregunta: Son todos trayectoria-conectado abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$ homeomórficos a $\mathbb{R}^2$?

I estado de la cuestión en $\mathbb{R}^2$ por simplicidad, pero por supuesto, podríamos hacer la misma pregunta en $\mathbb{R}^n$ que sospecho que va a tener la misma respuesta.

Answer 1

Tome $\Bbb R^2-0$. Un lugar extraño resultado es que cada vacío adecuado simplemente conectado subconjunto de $\Bbb R^2$ es homeomórficos, en realidad biholomorphic, a $B(0,1)$. Este es el mapeo de Riemann teorema. Es bastante raro, porque en un biholomorphic asignación conserva los ángulos y la orientación, y se puede producir bastante errático simplemente conectado subespacios de $\Bbb R^2$ que puede ser asignado "muy bien" a $B(0,1)$. Como ejemplo, tome $(0,1)\times (0,1)$, y desde el punto de $(0,0)$ dibujar una línea de longitud decir $1/n$ y el ángulo de $2\pi /n$ radianes para cada una de las $n$. Esto se ve como un cuadrado con un "plumero eliminado en la esquina" y simplemente se conecta, pero es difícil imaginar un conformal mapping de este en la unidad de disco.

Answer 2

Tome ninguna lo suficientemente pequeño como abrir barrio de la $n$-esfera $S^n$,$n\ge 1$,$\mathbb R^{n+1}$. Que es una ruta de acceso conectado a abrir subconjunto del espacio ambiental $\mathbb R^{n+1}$ que no está homeomórficos a $\mathbb R^{n+1}$.