¿Cuál es la diferencia entre homotopía y homeomorfismo?

Question

¿Cuál es la diferencia entre homotopía y homeomorfismo? Sean X e Y dos espacios, Supongamos que X e Y son equivalentes en homotopía y tienen la misma dimensión, ¿se puede demostrar que son homeomorfos? En caso contrario, ¿hay algún contraejemplo? Además, ¿qué condiciones hay que añadir a la homotopía para obtener el homeomorfismo?

Suponemos además que tanto X como Y son orientables.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea la letra

$$\ \ \ \ \ \mathsf{X}\ \ \ \ \ $$ y $Y$ sea la letra

$$\ \ \ \ \ \mathsf{Y}\ \ \ \ \ $$

Entonces $X$ y $Y$ son homotopías equivalentes, pero no son homeomorfas.

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Prueba de boceto: dejar $f:X\to Y$ mapa tres de las puntas del $\mathsf{X}$ a la $\mathsf{Y}$ de la manera obvia, y que asigne la cuarta punta al punto del centro. Dejemos que $g:Y\to X$ mapear el $\mathsf{Y}$ en esas tres vertientes del $\mathsf{X}$ . Entonces $f$ y $g$ son ambos continuos, y $f$ es una suryección pero no es inyectiva, mientras que $g$ es una inyección pero no es suryectiva. Ahora las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ se ve fácilmente que ambas son homotópicas a las identidades en $X$ y $Y$ Así que $X$ y $Y$ son homotopías equivalentes.

En otras palabras, observe que $\mathsf Y$ es un retracción de la deformación de $\mathsf X$ . Alternativamente, observe que $\mathsf X$ y $\mathsf Y$ ambos se retraen en el punto del centro.

Por otro lado, $X$ y $Y$ no son homeomórficos. Por ejemplo, eliminar el punto del centro de la $\mathsf{X}$ da como resultado un espacio con cuatro componentes conectados, mientras que al eliminar cualquier punto del $\mathsf{Y}$ produce como máximo tres componentes conectados.

Answer 2

Cuando dices $X$ y $Y$ son homotópicos, supongo que quieres decir que son homotópicos equivalentes. En cualquier caso, la equivalencia homotópica es más débil que homeomórficos.

Contraejemplo de tu afirmación: el cilindro bidimensional y una banda de Möbius son ambos variedades bidimensionales y homotópicamente equivalentes, pero no homeomorfas.

Desgraciadamente no soy un experto en el tema así que no estoy seguro de cuáles son los supuestos más débiles que hay que añadir a la homotopía para obtener un homeomorfismo.

Answer 3

Este es el contenido de ciertos teoremas de rigidez.

Deberías revisar el teorema de rigidez de Mostow. Implica que, dadas dos variedades cerradas y lisas que son equivalentes en homotopía y ambas hiperbólicas (curvatura seccional constante = -1), son difeomórficas (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Mostow_rigidity_theorem ).

Obsérvese que por el teorema de Cartan-Hadamard se deduce que una variedad hiperbólica es lo que se denomina asférica, es decir, que su cubierta universal es contractible.

Hay una conjetura muy bonita debida a Borel (la Conjetura de Borel) que se puede enunciar así.

Dejemos que $f: M \to N$ sea una equivalencia de homotopía de variedades asféricas cerradas. Entonces $f$ es homotópico a un homeomorfismo, y en particular $M$ y $N$ son homeomórficos.

Nótese que esta conjetura asume menos sobre las variedades (toda variedad hiperbólica es asférica, pero no toda variedad asférica es hiperbólica) pero también se obtiene una conclusión más débil (las variedades son homeomorfas, no difeomorfas o isométricas).

Answer 4

Busca espacios de lentes tridimensionales del tipo $L(p,q)$ , cociente de $S^3$ por una acción ortogonal libre del grupo cíclico $\mathbb{Z}_p$ . Más concretamente, busque los espacios $L(5,1), L(5,2)$ y $L(7,1), L(7,2)$ .

Answer 5

El contraejemplo más sencillo es $X = B_n(0)$ (una bola de dimensión $n$ alrededor de $0$ ) y $Y = \{0\}$ con la contracción $H(t,x) = (1-t)x$ es decir $H(0,x) = x$ , $H(1,x) = 0$ . Sin embargo, no encontrarás un homeomorfismo, ya que los conjuntos ni siquiera tienen la misma cardinalidad.