Condición para garantizar $f=0$ en $[a,b]$

Question

Llevo varios días atascado en este viejo problema de Análisis (estoy haciendo algún estudio por mi cuenta). He intentado varias cosas (que indicaré a continuación), pero no consigo resolverlo. El problema se presenta de la siguiente manera:

El problema: "Dejemos $f$ sea una función continua de valor real sobre $[a,b]$ . Supongamos que existe una constante $M \geq 0 $ tal que

$$|f(x)| \leq M \int_a^x |f(t)| dt$$

para todos $x \in [a,b]$ . Demostrar que $f(x)=0$ para todos $x \in [a,b]$ ."

Mis pensamientos: He intentado utilizar el teorema del valor medio de forma iterativa, pero eso parece llevarme siempre a un callejón sin salida. He deducido que $f(a)=0$ . Si sólo $f$ se supone que es diferenciable, entonces tal vez podría jugar a intentar que la derivada sea $0$ pero desgraciadamente sólo es continua. Mi otra idea era utilizar (de alguna manera) la condición para mostrar que $\int_a^b |f(x)| dx = 0$ . También he jugado un poco con la contradicción, pero sin éxito. Incluso si uno de estos pensamientos descabellados es correcto, no estoy realmente seguro de qué hacer a continuación.

Si tienes alguna idea, sugerencia o solución, te agradecería mucho que la compartieras. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Definir $g(x) := \int_a^x |f(t)| dt$ pour $x \in [a, b]$ . Entonces $g$ es diferenciable, no negativo, $g(a) = 0$ y $$ g'(x) = |f(x)| \leq M \int_a^x |f(t)| dt = M g(x) \, . $$ Ahora dejemos que $h(x) := g(x)e^{-Mx}$ . Entonces $h$ es no negativo, $h(a) = 0$ y $$ h'(x) = g'(x) e^{-Mx} - Mg(x) e^{-Mx} \le 0 \, . $$ Así que $h$ es disminuyendo en $[a, b]$ y, por tanto, idéntico a cero.

De ello se desprende que $g$ es idénticamente cero, y por lo tanto $|f(x)| = g'(x)$ también es cero en el intervalo.

(El idea es que $g$ satisface una "desigualdad diferencial" $g' \le Mg$ y compararlo con las soluciones del correspondiente igualdad diferencial $y' = My$ que, por supuesto, son $y(x) = C e^{Mx}$ .)

Answer 2

Este es un caso especial de La desigualdad de Grönwall una herramienta esencial para cualquier analista. Consulte la sección "Forma integral para funciones continuas" en el enlace de Wikipedia anterior, y aplíquela con $\alpha(t) = 0$ y $\beta(t) = M$ . Usted concluye $f(x) \le 0$ en todas partes. Luego aplícalo de nuevo a $-f$ .

La página de Wikipedia también da la prueba, que es más o menos el argumento del "factor integrador" dado por la respuesta de Martin R.