La convergencia de las series en las que participe en afirmar logaritmos $\sum \frac{1}{n(\log n)^{\alpha_1}\cdots (\log^k(n))^{\alpha_k} }$

Question

¿Cuál es la manera más rápida para mostrar cuando

$$ S(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k) = \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\log n)^{\alpha_1}\cdots (\log^k(n))^{\alpha_k}} $$

converge, donde $\log^k(n)$ $k$- ésima iteración del logaritmo natural?

Answer 1

$S(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)$ converge si y sólo si existe $j<k$ tal que para todo $1\leq i \leq j$, $\alpha_i = 1$ y $\alpha_{j+1}>1$.

Prueba:

Utilizamos la Prueba de Condensación de Cauchy, que los estados

Un positivo de la disminución de la secuencia $a_n$ converge si y sólo si $\sum 2^n a_{2^n}$ converge.

Con esta prueba, $S(\alpha)=\sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{n (\log (n)^{\alpha})}$ converge iff $\sum\limits_{n=3}^\infty \frac{2^n}{2^n (n \log(2))^\alpha} = \frac{1}{(\log 2)^\alpha}\sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ converge si y sólo si $\alpha >1$.

La iteración de este argumento, podemos ver que $S(1,\cdots,1,\alpha)$ converge si y sólo si $S(\alpha)$ converge. Por la Prueba de Comparación, $S(1,\cdots 1,\alpha_j,\cdots \alpha_k)$ converge si $S(1,\cdots,1,\alpha_j)$ converge.