Cómo probar que $\mathbb{Q}$ no es la intersección de una contables de la colección de bloques abiertos.

Question

Estoy leyendo el capítulo 4 de Jech - la Teoría de conjuntos y tratando de resolver la pregunta 4.14, en la que se nos pide a mostrar que:

$\mathbb{Q}$ no es la intersección de una contables de la colección de bloques abiertos. La clave es el uso de la Categoría de Baire Teorema.

No veo cómo hacerlo, y no puede ver la conexión de categoría de Baire teorema. Intuitivamente, estoy de acuerdo en que esto parece razonable, desde la intersección de abrir los conjuntos es un conjunto con los no vacío interior (¿estoy en lo correcto?). Por lo tanto, si $\mathbb{Q}$ fueron una intersección como que contendrá un intervalo abierto (de nuevo, espero que me equivoco gustaría saber si no.). Pero, supongo que esto no es una prueba, y no puede ver la conexión de Baire teorema.

Gracias!! Shir

Answer 1

Una versión de la categoría de Baire teorema dice que si $X$ es un completo espacio métrico, y $\{G_n:n\in\Bbb N\}$ es una contables de la familia de la densa abierto pone en $X$, $\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n$ es denso en $X$. $\Bbb R$ con la métrica usual es completa.

Supongamos que $\Bbb Q=\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n$, donde cada una de las $G_n$ es abierto en $\Bbb R$. $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$, de modo que cada una de las $G_n$ es denso en $\Bbb R$. Para cada una de las $q\in\Bbb Q$ deje $U_q=\Bbb R\setminus\{q\}$; claramente $U_q$ es un denso conjunto abierto en $\Bbb R$. Vamos $$\mathscr{U}=\{G_n:n\in\Bbb N\}\cup\{U_q:q\in\Bbb Q\}\;;$$ then $\mathscr{U}$ is a countable family of dense open subsets of $\Bbb R$, so its intersection is non-empty. However, the construction clearly ensures that $\bigcap\mathscr{U}=\varnothing$. This contradiction shows that $\Bbb P$ cannot be a $G_\delta$ in $\Bbb R$.