La probabilidad de escoger una única bola de color sucesivamente sin reemplazo

Question

En un balde, hay cinco diferentes colores de las bolas, dos de cada color, lo que 10 en total. Si usted escoge tres bolas al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que usted escoja un color diferente de la bola cada vez? ¿Cuál es la probabilidad de que usted sólo elegir dos bolas de diferentes colores?

Acabo de hacer un aleatorio simple escenario en el que se demuestra el principio/tipo de problema que estoy tratando de averiguar. Con las habilidades que he adquirido en pre-cálculo, me gustaría ser capaz de resolver este si es con reemplazo, no sin reemplazo. Además de tener varios colores únicos, pero bolas iguales dentro de cada grupo de color añade una capa adicional de complejidad que me confunde. ¿Cuál es el proceso para resolver el problema? Y, si yo era aumentar el número de colores, el número de bolas de cada color, o el número de veces que una pelota es elegido, podría la misma fórmula/proceso aplicarse?

Answer 1

Si usted está recogiendo las bolas sin reemplazo, entonces usted puede tratar este problema con las combinaciones (ya que no importa el orden en que tienes que elegir el de las bolas).

Hay $_{10}C_3$ formas de seleccionar tres bolas.

Elegir tres colores diferentes, elegir los colores ($_5C_3$) y, a continuación, elija la que la bola de cada color ($8$). Esto le da la probabilidad de $8\cdot (_5C_3) / (_{10}C_3)$.

Elige dos colores diferentes, elige el color con dos pelotas ($5$) y escoger la otra bola ($8$). Así, la probabilidad de $5 \cdot 8 / (_{10}C_3).$

Este método funciona para cualquier número de colores y cualquier número de bolas de cada color, mientras que el número de bolas por colores es el mismo. Si usted permitir diferentes números de bolas de colores, entonces usted necesita para tratar los casos de manera diferente.

Answer 2

Yo creo que no es una cocina fórmula para todo :es todo acerca de la cuenta. En primer lugar, hacemos un conteo de los escenarios posibles, y luego los que están en nuestro favor.

Tenemos $5$ colores : $C_1, C_2,..,C_5$

Recogemos $3$ bolas, ¿de cuántas maneras distintas se que para recoger $3$ bolas de $10$ ? $\binom{10}{3}$ posibles escenarios.

Ahora, aquí, un recuento de los escenarios en nuestro favor, que es $3$ diferentes colores. En primer lugar, debemos elegir $3$ colores con el fin de crear una "buena" situación, por ejemplo : uno rojo, uno azul , uno amarillo. Aquí tenemos a $5$ colores, y hay $\binom{5}{3}$ formas de elegir los tres colores. Para cada color, tenemos dos opciones de bolas, que es $2^3$ formas de pick 3 bolas entre los tres colores elegidos.

El total se $\binom{5}{3}*2^3$ , y la probabilidad es el cociente entre el número de escenarios y el número de escenarios posibles, $$\frac{\binom{5}{3}*2^3}{\binom{10}{3}}$$

Answer 3

Sólo tener en cuenta "los casos favorables dividido por todos los casos" y que no se confundan. En tu ejemplo, vamos a calcular la probabilidad de escoger tres colores diferentes. cada bola es buena en la primera selección, por lo que la probabilidad de estar en el camino correcto es $\frac{10}{10}=1$ (certeza). En la segunda recogida, 8 bolas son buenas en general 9 bolas, por lo que la probabilidad de estar en la pista de la derecha se convierte en $1\cdot\frac{8}{9}$. En la tercera selección, tiene 6 buenas bolas en 8, por lo que la probabilidad de escoger tres colores diferentes de bolas es $\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{8}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. El otro caso posible, es decir, tener dos bolas de un color, luego se $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. También podemos calcular directamente: $\frac{1}{9}$ (probabilidad de elegir dos bolas del mismo color en los dos primeros picks) y $\frac{8}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{2}{9}$ (probabilidad de elegir dos colores diferentes en los dos primeros picks, y una repetición en la tercera) es $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Creo que este razonamiento es mucho más simple que otras respuestas.

Answer 4

Canardi la fórmula puede ser fácilmente generalizado. Asumir:

$x$: número de colores

$y$: número de bolas de cada color

$z$: número de selecciones

$P$: la probabilidad de todos los $z$ picks tener un color diferente

Ahora, si $z > x$, entonces obviamente $P = 0$. De lo contrario (es decir, si $z \leq x$):

$$P = \frac{\binom{x}{z}*y^z}{\binom{x*y}{z}}$$