Derivada de la Función con los Casos: $f(x)=x^2\sin x^{-1}$ $x\ne0$

Question

Hasta ahora he asumido la derivada de una función con casos como este:

$$f(x) = \begin{cases}x^2\sin x^{-1} & \text{ if } x \neq 0\\ 0 & \text{ else }\end{cases}$$ sería el caso de los derivados.

Así, por $f'$ me gustaría conseguir:

$$f'(x) = \begin{cases} 2x \sin{\left( \frac{1}{x} \right)} -\cos{\left( \frac{1}{x} \right)} & \text{if } x \neq 0\\ 0 & \text{else} \end{casos}$$

Y para $f''$

$$f"(x) = \begin{cases} \frac{(2x^2 - 1)\sin{\left( \frac{1}{x} \right)} - 2x\cos{\left( \frac{1}{x} \right)}}{x^2} & \text{if } x \neq 0\\ 0 & \text{else} \end{casos}$$

Sin embargo, supuestamente $f$ es sólo diferenciable de una vez y no dos veces. Por lo tanto debo de haber cometido un error, pero estoy en una pérdida en cuanto a lo que sería. Es el derivado de los casos no es el caso de los derivados?

Answer 1

"La derivada de los casos es el de los casos de los derivados", como escribir, en cualquier punto interior a un intervalo en el que un solo caso en el que se aplica. Pero, en cualquier punto donde dos intervalos en relación a dos casos diferentes, encontrar la derivada incluso podría no existir, incluso si es que existe en cualquier punto arbitrariamente cerca de ella (e incluso si se acerca al límite mismo de la derecha y de la izquierda, de hecho). Pensar acerca de $g(x)$ define como $1/x$ $x\neq 0$ y $0$$x=0$: hay un derivado en $0$?

Para hacer todo esto más formal, la definición de derivada como un límite, y tenga en cuenta que, en general, usted realmente necesita "un poco de espacio alrededor de" un punto en el que un solo caso se aplica a encontrar.

Answer 2

Cómo concluyó $f'(0)=0$ no se realizó ningún intento de explicar. Recuerde que $$ f'(0) = \lim_{h\to0} \frac{ f(0+h) - f(0) } h. $$ Usted probablemente tendrá que apretar en el fin de encontrar el límite. A continuación tenemos $$ f"(0) = \lim_{h\to0} \frac{f'(0+h) - f'(0)} h. $$ Y, de nuevo, usted probablemente tendrá que exprimir. Sin embargo, no es difícil ver sin hacerlo, que $f'$ no es continua en a$0$, ya que los enfoques no hay límite en $0$ debido a la forma en que oscila. Por lo tanto no puede ser diferenciable en a $0.$