¿Es cada superficie lisa la superficie plana de alguna función?

Question

Deje que $ \Omega $ ser un dominio abierto sin problemas en $ \mathbb {R}^n$ entonces, ¿existe una función suave $u$ de tal manera que $\{u<0\}= \Omega $ y $\{u=0\}= \partial \Omega $ ?

Answer 1

La respuesta es sí. Al considerar $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ Supongo que te refieres a que $\Omega$ es una variedad lisa con límite de cierta dimensión $k \in \{1, \ldots, n\}$ . Voy a esbozar la prueba tal y como se da en el libro de Lee Introducción a los colectores lisos . En su texto, esta proposición aparece en las páginas 118-119 y es un subproducto del tema más amplio de la definición de las variedades/submúltiplos mediante inmersiones, incrustaciones y submersiones.

Propuesta : Toda colector liso con límite $\Omega$ admite un función de definición de límites una función suave $f:\Omega \to [0,\infty)$ tal que $f^{-1}(0) = \partial \Omega$ et $df_p \neq 0$ para todos $p \in \partial \Omega$ .

Boceto de la prueba : Dejemos que $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ sea una colección de gráficos suaves para $\Omega$ tal que $\bigcup_\alpha U_\alpha = \Omega$ . Para cada $\alpha$ definir $f_\alpha:U_\alpha \to \mathbb{R}$ tal que $f_\alpha \equiv 1$ si $U_\alpha \cap \partial \Omega = \emptyset$ , en caso contrario, si $U_\alpha$ interseca el límite, dejemos que $f_\alpha(x^1, \ldots, x^n) = x^n$ sea el $n$ coordenada (en coordenadas locales bajo $\varphi_\alpha$ , $x^n = 0$ para los puntos límite). Vemos entonces que el $f_\alpha$ son positivos en $Int \Omega$ y cero en $\partial \Omega$ . Dejamos que $\{\psi_\alpha\}$ ser un partición de la unidad subordinado a la cubierta $\{U_\alpha\}$ y definir la función $f:\Omega \to [0, \infty)$ por

$$ f(p) \;\; =\;\; \sum_\alpha \psi_\alpha(p) f_\alpha(p). $$

Esto cubre esencialmente los detalles principales de la prueba, pero yo recomendaría encarecidamente buscar en este texto para una explicación más profunda y el contexto mayor en el que opera este resultado. Estoy seguro de que hay otros lugares en los que se puede buscar esto también. Las palabras clave que recomendaría buscar, si alguna de ellas te resulta confusa, serían función delimitadora , partición de la unidad , colector con límite , tabla de coordenadas .