Suma de los recíprocos de los triángulo de números

Question

Tenga en cuenta la suma de $n$ términos :

$S_n = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac {1}{1+2+3} + ... + \frac {1}{1+2+3+...+n}$ para $n \in N$.

Encontrar el mínimo número racional $r$ tal que $S_n < r$, para todos los $n \in N$.

Mi intento :

$S_n = 2(1-\frac{1}{2} + \frac {1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac {1}{n} - \frac {1}{n+1}) = 2(1 - \frac {1}{n+1}) $

Ahora, ¿qué hacer con ese '$r$' cosa ?

¿Cómo proceder ?

Answer 1

Deje $r=2$, y podemos ver que

$$\frac{2n-2}n=2-\frac2n<2$$

Del mismo modo, como $n\to\infty$, el límite es de $2$, por lo que este es el menos número racional que satisface la desigualdad.

Answer 2

En primer lugar, hay que señalar que no es obvio por qué hay un "menos" tal número racional. Por ejemplo, si $S_n = 2$ todos los $n$, entonces no hay un mínimo de número racional. Así que vamos a probar, primero, que el $r$ existe.

Deje $A = \{x \in \Bbb Q: S_n < x, \forall n\}$. Debe leer la pregunta:

Demostrar que $\min A$ existe y encontrar su valor.

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{\sum_{t = 1}^k t} = \sum_{k=1}^n \frac1{\frac{k(k+1)}2} = 2\left( \sum_{k=1}^n \frac1k - \sum_{k=1}^n \frac1{k+1}\right) \\ = 2 \left(1 - \frac1{n+1} \right)$$

Si $x \in A$,$S_n < x, \forall n \implies \lim S_n \le x \implies 2 \le x$, lo $2$ es un límite inferior de $A$. Por otro lado, $2 \in A$. Por lo tanto, $2 = \min A$; en particular, $\min A$ existe.