Límite de la secuencia $\left(\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)_n$ .

Question

Tras este post en Meta En esta ocasión, voy a plantear regularmente preguntas de oposiciones de matemáticas, sobre una variedad de temas; y proporcionar una solución unos días después. El objetivo no es sólo enumerar ejercicios interesantes (espero) para el autoestudio, sino también obtener (de nuevo, espero) una variedad de técnicas para resolverlos.

Dejemos que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea diferenciable en $0$ y tal que $f(0)=0$ . Dejar $s_n\stackrel{\rm def}{=} \sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n^2}\right)$ para $n\geq 1$ encontrar el límite de la secuencia $(s_n)_{n\geq 1}$ .

Referencia: Ejercicio 4.26 en Ejercicios de matemáticas: X-ENS orales (Análisis I) , de Francinou, Gianella y Nicolas (2014) ISBN 978-2842252137.

Answer 1

Definir $\phi : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ por

$$ \phi(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x}, & x \neq 0 \\ f'(0), & x = 0 \end{cases} $$

Entonces $\phi$ es continua en $0$ y $f(x) = x\phi(x)$ . Ahora su suma se reduce a

$$ s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n^2}\phi\left(\frac{k}{n^2}\right), $$

de lo cual se desprende que

$$ \Big( \inf_{[0,1/n]}\phi \Big) \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n^2} \leq s_n \leq \Big( \sup_{[0,1/n]}\phi \Big) \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n^2}. $$

Tomando $n \to \infty$ por el teorema del estrujamiento obtenemos

$$ s_n \to \frac{1}{2}\phi(0) = \frac{1}{2}f'(0). $$

Answer 2

Usando la definición de la derivada + usando la suma de Riemann para reescribir la suma como una integral se obtiene $\frac{1}{2}f'(0)$ .

Answer 3

Una respuesta (inspirada en la del libro citado como referencia en la pregunta).

• En primer lugar, probemos con algunos ejemplos sencillos:

  • Identidad $f\colon x\mapsto x$ $$ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 xdx = \frac{1}{2} $$

  • Cuadrado $f\colon x\mapsto x^2$ $$ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n \frac{k^2}{n^2} \sim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\int_0^1 x^2dx \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 $$

Ahora bien, no estoy seguro de que esto sea útil si uno no tiene ya una intuición para la respuesta, pero también se puede intentar lo anterior de forma más general con una serie de potencias $f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k x^k$ Satisfaciendo a $f(0)=0$ con radio de convergencia no nulo para obtener $\frac{a_1}{2}$ . En ese momento, o bien se reconoce una tendencia general ( "obviamente debería converger a $\frac{f'(0)}{2}$ " ), o, bueno, tratar de continuar de todos modos.

• Una idea natural sería escribir $f(x) = f'(0)x + o(x)$ en una zona de $0$ y, a continuación, calcular $$ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right) = f'(0)\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} + \sum_{k=0}^n o\left(\frac{k}{n^2}\right) = f'(0)\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} + o\left(1\right) $$ y concluir que el límite es $\frac{f'(0)}{2}$ . Ahora bien, esto es correcto, pero parece un poco impreciso debido al uso de la notación Landau en la suma (que parece que puede "ocultar" algunos problemas de no uniformidad entre los sumandos) -- lo haremos más riguroso a continuación.

• En concreto, ya que $f$ es diferenciable en $0$ podemos escribir por Teorema de Taylor (la forma Peano del remanente) que $$ f(x) = f(0)+f'(0)x+r(x)x= f'(0)x+r(x)x \tag{1} $$ para algunos $r\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ con $\lim_{x\to 0}r(x)=0$ . Esto nos permite reproducir la misma cadena anterior: $$ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right) = f'(0)\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} + \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n r\left(\frac{k}{n^2}\right)k \tag{2} $$ y queremos argumentar que el segundo término converge a $0$ . En vista de ello, fijar $\varepsilon > 0$ por suposición, existe $\delta_\varepsilon>0$ tal que $\lvert x\rvert \leq \delta_\varepsilon$ implica $\lvert r(x)\rvert \leq \varepsilon$ . Desde $0\leq \frac{k}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ para todos $0\leq k\leq n$ Esto implica que existe $N_\varepsilon\geq 0$ tal que, para todo $n\geq N_\varepsilon$ , $$ \left\lvert \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n r\left(\frac{k}{n^2}\right)k \right\rvert \leq \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n \left\lvert r\left(\frac{k}{n^2}\right)\right\rvert k \leq \varepsilon \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n k = \frac{\varepsilon}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \leq \varepsilon $$ demostrando que $ \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n r\left(\frac{k}{n^2}\right)k \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 $ como se busca. Así, obtenemos de $(2)$ que $$ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n^2}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} \boxed{\frac{f'(0)}{2}}\;. $$