Tengo una pregunta que es posible encontrar cuál será el área máxima de un triángulo si suponemos que conocemos dos de los lados y ninguno de los ángulos. No sabemos si uno de estos lados es el más grande o no.
¿Alguien puede responder considerando que los dos lados dados son m y n?
Es fácil responder a la pregunta recordando que el área de un triángulo es la base $\times$ altura dividida por $2$ . Fija un lado como base y gira el otro... ¿cuándo es máxima la altura (y por tanto el área) del triángulo? Cuando el otro lado está en $90$ grados desde el primero, en cuyo caso se tiene un triángulo rectángulo con un área igual a la mitad del producto de los dos lados iniciales.
Intuición correcta >>>>> una fórmula arbitraria (sobre todo porque el OP declaró en un comentario que no entendía la fórmula en la respuesta de Emre).
Se conoce como la fórmula de SAS para el área del triángulo. Puedes consultar el siguiente enlace. mathsisfun.com/algebra/
@Resorcinol Let $h$ sea la altura del triángulo. Entonces, si $n$ es la longitud del lado de la base, y $m$ la otra longitud lateral conocida, $\frac{1}{2}hn$ es, por supuesto, el área del triángulo. Llegados a este punto, tenemos la configuración de la respuesta de Anónimo, en la que la intuición (concretamente, la idea de que las líneas inclinadas en diagonal son menos "altas" que las líneas verticales de la misma longitud) puede llevarnos al resto del camino hacia nuestra respuesta. Pero utilizando la definición de $\sin$ también podemos derivar la fórmula anterior para la altura de un triángulo arbitrario con las restricciones dadas, ya que $h=m\sin\theta$ .
He aquí una imagen que complementa la respuesta clásica dada en Anónimo de la respuesta de la empresa:
El segmento de línea negra horizontal es el lado fijo inicial.
La longitud del segundo lado es el radio del círculo rojo. Con estos radios se pueden generar todos los triángulos posibles con lados de estas longitudes respectivas; en la imagen se dan tres ejemplos: uno en azul, otro en verde y otro en negro. En cada caso, la base $\times$ La fórmula de la altura tiene la misma base, y se ve que la altura es mayor cuando los dos segmentos de la línea son perpendiculares entre sí.
Si dibujas un triángulo y etiquetas los lados a b y c, entonces puedes aplicar la Ley de los Cosenos . Dados 2 lados cualesquiera a y b, el ángulo C (o gamma) está necesariamente entre a y b. Aplicando esto, se puede resolver el lado c.
Una vez que tienes los lados a b y c, puedes aplicar Fórmula de la garza para encontrar el área del triángulo. También puedes utilizar la geometría para encontrar la base y la altura del triángulo.
Bien, ahora sabemos que el área del triángulo es $$\sqrt{\tfrac12(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(\tfrac12(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})-a)(\tfrac12(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})-b)(\tfrac12(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})-\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})}$$ y todo lo que tenemos que hacer es maximizar esa expresión con respecto a $\gamma$ . Buena suerte.
La Fórmula de la Garza es bonita, pero rara vez es conveniente o útil hacerla en un tiempo determinado. Por lo general, se puede establecer una expresión bastante simple con un poco de geometría/trig.
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