¿Qué significa que un elemento de un grupo sea una función sobre el grupo?

Question

Estoy tratando de aprender la teoría de grupos para mi investigación en física. Estoy trabajando con estos apuntes: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/ho/GNotes.pdf

En la página 3, el autor afirma:

"Es sencillo ver que el conjunto de todos los automorfismos de $G$ forma un grupo $\operatorname{Aut} G$ que debe incluir $G/\mathcal{Z}(G)$ como un subgrupo normal".

Esto me confunde; parece que hay un error de tipo. Un elemento de $\operatorname{Aut} G$ es una función $\phi: G \rightarrow G$ . Un elemento de $G/\mathcal{Z}(G)$ es un elemento de $G.$ Así que este último grupo no puede ser un subconjunto del primero, por lo que el autor debe estar asumiendo alguna identificación entre los elementos del grupo y las funciones sobre los elementos del grupo.

¿Qué identificación supone el autor? Hace referencia a la definición de lo que él llama un "automorfismo interno" mediante " $\phi_g (g_i) = g g_i g^{-1},$ " y esta parece ser la identificación que busco, pero me incomoda el hecho de que haya llamado a esto con el nombre de "automorfismo interno".

Answer 1

Nota: Cada elemento $a \in G$ define un automorfismo $$\phi_a : G \to G \,;\, \phi_a(x)=axa^{-1}$$

La cartografía $$F : G \to Aut(G) \,;\, F(a)=\phi_a$$ es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, por el primer Teorema del isomorfismo, obtenemos un isomorfismo: $$F : G / \ker(F) \to Im(F) \leq Aut(G)$$ y es fácil de comprobar $\ker(F)=\mathcal{Z}(G)$ .

Ahora, a través de este mapeo "natural", $G/\mathcal{Z}(G)$ puede identificarse (es isomorfo) con un subgrupo de $Aut(G)$ y solemos considerar que son "lo mismo".

Answer 2

Sería mejor

que incluye un subgrupo normal isomorfo a $G/\mathcal{Z}(G)$

Dado $g\in G$ se puede considerar el automorfismo interno $\phi_g$ definido por $$ \phi_g(x)=gxg^{-1} $$ Es fácil ver que se trata efectivamente de un automorfismo de $G$ . Además $$ \phi_g\circ\phi_h=\phi_{gh} $$ por lo que el mapa $\phi\colon G\to\operatorname{Aut}G$ definido por $g\mapsto \phi_g$ es un homomorfismo de grupo. Su núcleo es $\mathcal{Z}(G)$ por lo que el teorema del homomorfismo dice que tenemos un homomorfismo inyectivo $$ G/\mathcal{Z}(G)\to\operatorname{Aut}G $$ Queda por demostrar que la imagen es un subgrupo normal.

Answer 3

Tienes razón: es el resultado de esta identificación. Más precisamente, cualquier grupo actúa sobre sí mismo automorfismos internos (también se dice por conjugación ).

Existe un homomorfismo canónico $\begin{aligned}[t]\varphi \colon G&\longrightarrow \operatorname{Aut}G\\g&\longmapsto(x\mapsto gxg^{-1})\end{aligned}$ El núcleo de este homomorfismo es, por definición, el centro de $G$ , $Z(G)$ de modo que obtenemos una incrustación $\;G/Z(G)\hookrightarrow \operatorname{Aut}G$ .

La imagen (los automorfismos internos) son un subgrupo normal de $\operatorname{Aut}G$ porque se comprueba fácilmente que, si $f$ es un automorfismo $G$ el conjugado del automorfismo interno inducido por $g$ es el automorfismo interno inducido por $\varphi(g)$ .